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法律研究同步发电机或交流发电机的最大无功功率
对于**凸极同步发电机或交流发电机**，每相无功功率由下式给出：
$$\mathrm{𝑄_{1𝜑} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}cos\:𝛿 −\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}\lbrace{(𝑋_{𝑑} + 𝑋_{𝑞} ) − (𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞})\:cos\:2\delta}\rbrace … (1)}$$
其中：
V 是每相端电压。
Ef 是每相励磁电压。
$\delta$ 是 Ef 和 V 之间的每相相角。
Xd 是直轴同步电抗。
Xq 是交轴同步电抗。
为了使无功功率最大，
$$\mathrm{\frac{𝑑𝑄_{1𝜑}}{𝑑\delta}= 0}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{𝑑}{𝑑\delta} \left(\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}cos\:\delta −\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}\lbrace(𝑋_{𝑑} + 𝑋_{𝑞}) − (𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞}) cos\:2\delta\rbrace \right)= 0}$$
$$\mathrm{−\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}sin\:\delta −\frac{2𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}(𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞})sin\:2\delta = 0}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝐸_{𝑓}\:sin\:\delta +\frac{𝑉}{𝑋_{𝑑}}(𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞})(2\:sin\:\delta\:cos\:\delta) = 0}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:cos\:\delta = −\frac{𝐸_{𝑓}𝑋_{𝑞}}{2\:𝑉(𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞} )}… (2)}$$
将公式 (2) 中的值代入公式 (1)，得到：
$$\mathrm{𝑄_{1𝜑\:𝑚𝑎𝑥} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}\left(−\frac{𝐸_{𝑓}𝑋_{𝑞}}{2\:𝑉(𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞} )}\right)−\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}{(𝑋_{𝑑} + 𝑋_{𝑞})+\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}}{(𝑋_{𝑑} - 𝑋_{𝑞})}(2 cos^{2}\:\delta − 1)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑄_{1𝜑\:𝑚𝑎𝑥}=−\frac{{𝐸^{2}_{𝑓}}𝑋_{𝑞}}{2\:𝑋_{𝑑}(𝑋_{𝑑}−𝑋_{𝑞})}-\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}{(𝑋_{𝑑} + 𝑋_{𝑞})+\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}}{(𝑋_{𝑑} - 𝑋_{𝑞})}\left(\frac{2{𝐸^{2}_{𝑓}}𝑋^{2}_{𝑞}}{4 𝑉^{2}(𝑋_{𝑑}− 𝑋_{𝑞})^{2}}-1\right)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑄_{1𝜑\:𝑚𝑎𝑥}=-\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}\lbrace{(𝑋_{𝑑} + 𝑋_{𝑞})-(𝑋_{𝑑} - 𝑋_{𝑞})}\rbrace−\frac{𝐸^{2}_{𝑓}𝑋_{𝑞}}{2\:𝑋_{𝑑}(𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞})}+\frac{𝐸^{2}_{𝑓}𝑋^{2}_{𝑞}}{4 𝑋_{𝑑}(𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞} )}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑄_{1𝜑\:𝑚𝑎𝑥}=\frac{𝑉^{2}}{𝑋_{𝑑}}-\frac{{𝐸^{2}_{𝑓}}𝑋^{2}_{𝑞}}{4 𝑋_{𝑑}(𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞} )}… (3)}$$
公式 (3) 给出了凸极交流发电机每相无功功率的最大值。
同样，对于**圆柱转子交流发电机**，
$$\mathrm{𝑋_{𝑑} = 𝑋_{𝑞} = 𝑋_{𝑠}}$$
$$\mathrm{∴\:𝑄_{1𝜑} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑠}}cos\:\delta −\frac{𝑉^{2}}{𝑋_{𝑠}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑄_{1𝜑} =\frac{𝑉}{𝑋_{𝑠}}(𝐸_{𝑓}\:cos\:\delta − 𝑉) … (4)}$$
从公式 (4) 可以看出，当 $𝐸_{𝑓}\:cos\:\delta = 𝑉$（即在正常励磁下）时，$𝑄_{1𝜑}$ = 0，交流发电机在**功率因数为 1** 的情况下运行。
当 𝐸𝑓 cos $\delta$ > 𝑉（即交流发电机**过励磁**）时，无功功率为正。因此，交流发电机向母线提供无功功率。
当 𝐸𝑓 cos $\delta$ < 𝑉（即交流发电机**欠励磁**）时，无功功率为负。因此，交流发电机吸收无功功率。
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