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法学同步发电机或交流发电机的输出功率
图1显示了圆柱转子同步发电机或交流发电机的电路模型。
设：
𝑉 = 每相端电压
𝐸𝑓 = 每相励磁电压
𝐼𝑎 = 电枢电流
δ = 负载角（𝑉 和 𝐸𝑓 之间的夹角）
根据基尔霍夫电压定律(KVL)，可得：
𝑬𝒇=𝑽+𝑰𝒂𝒁𝒔…(1)
∴𝑰𝒂=𝑬𝒇−𝑽𝒁𝒔…(2)
其中：
同步阻抗,𝒁𝒔=𝑅𝑎+𝑗𝑋𝑎=𝑍𝑠∠𝜃𝑧…(3)
此外，对于同步发电机，励磁电压(𝐸𝑓) 比端电压 (V) 超前负载角 (δ)。因此：
\mathrm{𝑽 = 𝑉 \angle 0°\:\:则\:\:𝑬_{𝒇} = 𝐸_{𝑓} \angle \delta}
交流发电机每相的复功率输出
\mathrm{𝑆_{𝑜𝑔} = 𝑃_{𝑜𝑔} + 𝑗𝑄_{𝑜𝑔} =𝑽{𝑰^{*}_{𝒂}}}
\mathrm{\Rightarrow\:𝑆_{𝑜𝑔} = 𝑽 \left( \frac{𝑬_{𝒇} − 𝑽}{𝒁_{𝒔}}\right)^{∗}=𝑽\angle 0° \left(\frac{𝐸_{𝑓}\angle \delta − 𝑉 \angle 0°}{𝑍_{𝑠} \angle 𝜃_{𝑧}} \right)^{∗}}
\mathrm{\Rightarrow\:𝑆_{𝑜𝑔} = 𝑽 \angle 0° \left(\frac{𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}\angle(\delta − 𝜃_{𝑧}) − \frac{𝑉}{𝑍_{𝑠}}\angle − 𝜃_{𝑧}\right)^{∗}=\frac{𝑽𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}\angle(𝜃_{𝑧} − \delta) −\frac{𝑉^{2}}{𝑍_{𝑠}}\angle 𝜃_{𝑧}}
因此，同步发电机的复功率输出为：
\mathrm{𝑆_{𝑜𝑔} = 𝑃_{𝑜𝑔} + 𝑗𝑄_{𝑜𝑔}}
\mathrm{= \frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}cos(𝜃_{𝑧} - \delta) + 𝑗\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}sin(𝜃_{𝑧} - \delta) -\frac{𝑉^{2}}{𝑍_{𝑠}}(cos\:𝜃_{𝑧} + 𝑗\:sin\:𝜃_{𝑧 })… (4)}
交流发电机每相的有效输出功率
将公式(4)的实部相等，可得到有效输出功率(𝑃_{𝑜𝑔})
\mathrm{𝑃_{𝑜𝑔} =\frac{𝑉{𝐸_{𝑓}} }{𝑍_{𝑠}}cos(𝜃_{𝑧} − \delta) −\frac{𝑉^{2}}{𝑍_{𝑠}}cos\:𝜃_{𝑧}}
根据图2所示的阻抗三角形：
\mathrm{cos\:𝜃_{𝑧}=\frac{𝑅_{𝑎}}{𝑍_{𝑠}}}
以及
\mathrm{ 𝜃_{𝑧} = 90° − {α_{𝑧}}}
\mathrm{∴\:𝑃_{𝑜𝑔} = \frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}cos(90° - \delta + α_{𝑧})-\frac{𝑉^{2}}{𝑍^{2}_{𝑠}}𝑅_{𝑎}}
\mathrm{\Rightarrow\:𝑃_{𝑜𝑔} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}sin(\delta + α_{𝑧})-\frac{𝑉^{2}}{𝑍^{2}_{𝑠}}𝑅_{𝑎} … (5)}
功率(𝑃_{𝑜𝑔}) 也称为_交流发电机产生的电功率_。
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交流发电机每相的无功输出功率
将公式(4)的虚部相等，可得到无功输出功率(𝑄_{𝑜𝑔})
\mathrm{𝑄_{𝑜𝑔} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}(𝜃_{𝑧} - \delta) −\frac{𝑉^{2}}{𝑍_{𝑠}}sin\:𝜃_{𝑧}}
根据图2所示的阻抗三角形，可得：
\mathrm{sin\:𝜃_{𝑧} =\frac{𝑋_{𝑠}}{𝑍_{𝑠}}}
以及
\mathrm{𝜃_{𝑧} = 90° − α_{𝑧}}
\mathrm{∴\:𝑄_{𝑜𝑔} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}sin(90° - \delta + α_{𝑧} )−\frac{𝑉^{2}}{𝑍^{2}_{𝑠}}𝑋_{𝑠 }}
\mathrm{\Rightarrow\:𝑄_{𝑜𝑔} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}cos(\delta + α_{𝑧})−\frac{𝑉^{2}}{𝑍^{2}_{𝑠}}𝑋_{𝑠 } … (6)}
交流发电机每相最大输出功率的条件
对于交流发电机的最大输出功率：
\mathrm{\frac{𝑑𝑃_{𝑜𝑔}}{𝑑𝛿}= 0\:\:且\:\:\frac{𝑑^{2}𝑃_{𝑜𝑔}}{{𝑑\delta}^{2}} < 0}
因此：
\mathrm{\frac{𝑑}{𝑑\delta}\left[\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}sin(\delta + α_{𝑧})-\frac{𝑉^{2}}{𝑍^{2}_{𝑠}}𝑅_{𝑎} \right]= 0}
\mathrm{\Rightarrow\:\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}cos(\delta + α_{𝑧})-0 = 0}
\mathrm{\Rightarrow\: cos(\delta +α_{𝑧}) = 0}
\mathrm{\Rightarrow\:\delta + α_{𝑧} = 90°}
\mathrm{\Rightarrow\:\delta = 90° - α_{𝑧} = 𝜃_{𝑧} … (7)}
因此，对于交流发电机的最大输出功率：
\mathrm{负载角(𝛿) = 阻抗角(𝜃_{𝑧})}
因此，根据公式(5)和(7)，**交流发电机的最大输出功率**由下式给出：
\mathrm{𝑃_{𝑜𝑔(𝑚𝑎𝑥)} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}} -\frac{𝑉^{2}}{𝑍^{2}_{𝑠}}𝑅_{𝑎}… (8)}
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