平行轴定理

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引言

物体的转动惯量 (MOI) 由平行轴定理确定，该定理平行于物体轴线的质量，并且也穿过重力中心。PAT 表明，物体的转动惯量之和与物体的质量与轴距离平方的乘积定义了 PAT。它有助于找到诸如杆、圆盘等物体的 MOI。在本教程中，将进一步讨论平行轴定理。

平行轴定理的历史

克里斯蒂安·惠更斯在研究复摆时提出了平行轴定理。平行轴定理也称为惠更斯-施泰纳定理，因为它以“克里斯蒂安·惠更斯”和“雅各布·施泰纳”命名

平行轴定理

物体的平行轴定理用于评估具有平行于重心轴线的轴线的固体和平面体的 MOI。根据 Abdulghany (2017) 的说法，物体的转动惯量决定了其在特定平面上的存在状态。

平行轴定理由物体的惯性绕穿过质量中点的轴的和以及物体的质量乘以两轴之间距离的平方之积确定（图书馆，2022）。正如王和里卡多 (2019) 所述，这方面决定了定理的核心。

此定理适用于任何固体，无论其形状如何。

图 1：平行轴定理

平行轴定理的公式

平行轴定理与固体有关，并通过将物体的转动惯量与物体的质量乘以两轴之间距离的平方的乘积相加来确定（phy-astr，2022）。

I = I_x + Ma²

这里，

这里，“I”= 物体中的力矩，I_x = 特定刚体的转动惯量，M = 固体物体的质量，a² 确定两个特定轴之间的距离的平方。

图 2：平行轴定理

平行轴定理的推导

此定理将能够以以下方式推导出来，假设 I_x 与特定固体物体的转动惯量相关，并且它正在穿过质量中心（假设轴为 AB），而 I 将是存在于由 A'B' 确定的轴周围的物体的转动惯量，并且它存在于距离“a”（phy-astr，2022）处。

现在，当考虑质量为“m”的粒子与重力中心的点之间的距离为“r”时，则可以推导出 A'B' = r + a

现在

I = Σm ( r + a ) ²

I = ∑m (r² + a² + 2ra)

I = ∑m r² + ∑m a² + ∑2ra

I = I_x  +  a²  ∑m  +  2a∑m r

I = I_x  +  Ma² + 0

I = I_x  +  Ma²

杆的平行轴定理

杆的平行轴定理主要由杆的转动惯量确定。杆的转动惯量由以下公式给出：

I = ⅓ ML²

杆的末端与杆中心的距离计算如下：

a = L/2

因此，平行轴定理以以下方式推导出来

I_x = ⅓ ML² - M(L/2)²

I_x = ⅓ ML² - 1/4 ML²

I_x = 1/12 ML²

转动惯量

之前已经研究过，惯性与物体为了抵抗特定线性运动状态而表现出的质量有关，无论是物体处于运动状态还是静止状态（Rempe 等人，2019）。物体的转动惯量用符号 Im 表示，它仅仅是物体存在的方式以及与其相关的抵抗线性运动状态或旋转运动变化的能力的度量。

在线性运动和旋转运动这两种情况下，转动惯量都扮演着完全相同的角色，因此这两种情况是可以比较的。因此，可以确定物体的转动惯量是其抵抗其运动状态变化的能力。

即 Im = Mr²，其中 r 确定粒子与其旋转轴的垂直距离，M 与旋转运动中物体的质量有关。但是，转动惯量与某些因素有关，转动惯量是标量而不是矢量，它对于物体来说不是恒定的，因为它取决于旋转轴，物体的转动惯量取决于物体的质量（phy-astgr，2022）。物体的质量越大，转动惯量越大。随后，更大的转动惯量导致质量与其轴之间的更大分离。

图 3：转动惯量

垂直轴定理和平行轴定理的应用

垂直轴定理和平行轴定理结合使用以找到任何刚体绕给定轴的转动惯量。为了计算旋转运动中任何物体的转动惯量，使用平行轴定理和垂直轴定理。当知道任何物体绕特定轴的转动惯量并将其用于计算绕平行于任何其他给定轴的轴的转动惯量时，使用平行轴定理。如果知道物体在两个垂直给定轴上的转动惯量，则使用垂直轴定理计算物体绕第三个垂直轴的转动惯量。

结论

平行轴定理用于确定物体绕其平行轴的转动惯量。克里斯蒂安·惠更斯在研究复摆原理时引入了该定理。该定理通常称为惠更斯-施泰纳定理或简称为施泰纳定理。特定物体在轴平面上的转动惯量等于物体转动惯量与质量乘以所涉及的两轴之间距离的平方之积的和。

常见问题

Q1.什么是转动惯量？

任何物体的旋转惯性称为转动惯量。转动惯量是与物体抵抗运动状态的趋势相关的度量；它可以是线性运动或旋转运动。转动惯量依赖于物体的质量。物体质量越大，保持惯性状态的能力就越强。

Q2.何时使用平行轴定理？

当获得特定物体绕一个轴的转动惯量时，使用此定理。但是，需要找到另一个平行于第一个轴的轴的转动惯量。

Q3.平行轴定理的一般表达式是什么？

平行轴定理通常由表达式 I = I_x + Ma² 确定

这里 I_x 表示物体绕通过质量中心的轴旋转的转动惯量。“M”表示物体的总质量，a 表示通过所考虑的特定物体的质量中心的轴之间的距离。I 表示与旋转轴平行的物体的转动惯量。

Q4.谁发现了平行轴定理？

平行轴定理由查尔斯·惠更斯和雅各布·施泰纳发现。因此，它也称为惠更斯-施泰纳定理，或者简单地称为施泰纳定理。

参考文献

期刊

Abdulghany, A. R. (2017)。转动惯量的平行轴定理的推广。美国物理学杂志，85(10)，791-795。检索自：https://aapt.scitation.org/doi/full/10.1119/1.4994835

Rempe, D.、Sridhar, S.、Wang, H. 和 Guibas, L. (2019)。学习 3D 刚体的通用最终状态动力学。在 IEEE/CVF 计算机视觉和模式识别研讨会论文集中（第 17-20 页）。检索自：http://openaccess.thecvf.com

Wang, J. 和 Ricardo, B. (2019)。转动惯量计算的压缩方法。物理教师，57(8)，551-554。检索自：https://www.researchgate.net/profile/Bernard-Ricardo/publication/336707332_Squashing_Method_for_Moment_of_Inertia_Calculations/links/5dc3761a299bf1a47b1c03fa/Squashing-Method-for-Moment-of-Inertia-Calculations.pdf

网站

图书馆，2022年。关于惯性简介：平行轴定理。检索自：https://pressbooks.library.upei.ca/statics/chapter/inertia-intro-parallel-axis-theorem/ [检索日期：2022年6月7日]

phy-astgr，2022年。关于转动惯量。检索自：http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mi.html [检索日期：2022年6月7日]

phy-astr，2022年。关于平行轴定理。检索自：http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/parax.html [检索日期：2022年6月7日]