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法律研究二项式定理推论
二项式定理描述了如何展开任何有限次幂的表达式。二项式定理是一个强大的展开工具，在代数、概率和其他领域都有应用。
假设我们有一个表达式 $\mathrm{(x\:+\:y)^n}$，我们需要展开该表达式，我们可以使用二项式定理的广义方程来实现。
二项式定理定义了两个不同项的二项式表达式。二项式定理的一般方程为
$$\mathrm{(a+b)^{n}=^n{C_{r=0}}a^{n-r}b^{0}\:+\:^n{C_{r=1}}a^{n-1}b^{1\:}+\:........\:+\:^n{C_{r=n-1}}a^{1}b^{n-1}+^n{C_{r=n}}a^{0}b^{n}}$$
$$\mathrm{=n_{\sum_{r=0}}^n{C_{r}}a^{n-r}b^{r}}$$
其中我们可以使用以下公式获得 $\mathrm{^n{C_{r}}}$ 的值：
$$\mathrm{^n{C_{r}}=\frac{n!}{(n-r)!r!}}$$[0! 始终等于 1]
注意
表达式 $\mathrm{(a\:+\:b)^{n}}$ 的二项式展开式中共有 n+1 项。
每项中 a 和 b 的幂之和将等于 n。
例如，如果我们想展开 $\mathrm{(x \:+\: y)^{5}}$。使用二项式表达式我们可以轻松地做到这一点。
$$\mathrm{(x+y)^{5}=5_{\sum_{r=0}}x^{5-r}.y^{r}}$$
$$\mathrm{(x+y)^{5}=^5{C_{0}}x^{5}.y^{0}+^5{C_{1}}x^{4}.y^{1}+^5{C_{2}}x^{3}.y^{2}+^5{C_{3}}x^{2}.y^{3}+^5{C_{4}}x^{1}.y^{4}+^5{C_{5}}x^{0}.y^{5}}$$
计算所有 $\mathrm{^n{C_{r}}}$ 的值并将它们的值代入表达式后，我们得到：
$$\mathrm{(x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10X^{3}y^{2}+10X^{2}y^{3}+5x^{1}y^{4}+y^{5}}$$
通过这种方式，使用二项式定理，我们可以使用二项式公式将任何表达式展开到有限次幂的形式。
我们将详细讨论二项式定理的推论及其在 C++ 中的实现，以解决与代数和组合相关的各种问题。
二项式定理推论
推论 1
二项式定理的这个推论指出，任何表达式的二项式展开式中所有系数的和等于 $\mathrm{ 2^{n}}$，其中 n 是表达式的幂。数学上，它可以写成
$\mathrm{n_{\sum_{r=0}}^n{C_{r}}=2^{n}}$，对于任何正数 n
证明
我们都知道二项式展开的一般方程为：
$$\mathrm{(a+b)^{n}=^n{C_{r=0}}a^{n-0}b^{0}+^n{C_{r=1}}a^{n-1}b^{1}+........+^n{C_{r=n-1}}a^{1}b^{n-1}+^n{C_{r=n}}a^{0}b^{n}}$$
$$\mathrm{(1+1)^{n}=^n{C_{r=0}}1^{n-0}1^{0}+^n{C_{r=1}}1^{n-1}1^{1}+........+^n{C_{r=n-1}}1^{1}1^{n-1}+^n{C_{r=n}}1^{0}1^{n}}$$
$$\mathrm{=^n{C_{r=0}}+^n{C_{r=1}}+........+^n{C_{r=n-1}}+^n{C_{r=n}}}$$
$$\mathrm{=^n{\sum_{r=0}}^n{C_{r}}=2^{n}.}$$
使用这个推论，我们可以得到任何表达式升到有限次幂的所有系数的和。
现在让我们看看如何在 C++ 中实现二项式定理的这个推论，以找到任何表达式的二项式展开式中所有系数的和。
要找到表达式 $\mathrm{(x\:+\:y)^{n}}$ 的二项式展开式中所有系数的和，我们将取 n 作为输入。
要计算所有系数的和，我们只需要找到 $\mathrm{2^{n}}$ 的值。这将是我们需要的答案。
使用此推论查找系数和的 C++ 代码
示例
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//function to calculate the sum of coefficients
long long int sumofcoefficients(int n){
long long int a = pow(2,n);
return a;
}
int main()
{
int n=18; //(x+y)^n
cout<<"The sum of all the coefficients in binomial expansion of (x+y)^n "<<sumofcoefficients(n)<<endl;
return 0;
}
输出
The sum of all the coefficients in binomial expansion of (x+y)^n 262144
时间复杂度：O(1)
空间复杂度：O(1)
推论 2
这个推论定义了从 r=0 到 r=n 的 r 和第 r 个二项式系数之和之间的关系。这个推论指出，二项式系数的乘积之和等于 $\mathrm{n*2^{n-1}}$。
这个推论可以表示为
$$\mathrm{n_{\sum_{r=0}}(r*^n{C_{r}})=n*2^{n-1}}$$
证明
$$\mathrm{n_{\sum_{r=0}}(r*^n{C_{r}})=n_{\sum_{r=0}}(^r{C_{1}}*^n{C_{r}})=^n{\sum_{r=0}}(\frac{r!}{(r-1)!1!}*\frac{n!}{(n-r)!r!})}$$
这可以进一步简化为：
$$\mathrm{n_{\sum_{r=0}}=(\frac{n*(n-1)!}{(r-1)!(n-1-(r-1)!)})=n*n_{\sum_{r=0}}n-1_{C_{r-1}}=n*2^{n-1}.}$$
我们可以使用这个推论找到任何正数 n 的 r 和第 r 个二项式系数的乘积之和，其中 r 大于或等于 0 且 r 小于或等于 n。
二项式定理推论的 C++ 实现
如果我们想找到 r 和第 r 个二项式系数的乘积之和，其中 r 的范围为 [0,n]，我们可以使用任何正整数 n。
我们将使用上述推论来计算它。
使用上述推论的 C++ 代码
示例
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//function to calculate sum of product of r and rth binomial coefficients
long long int sum(int n){
long long int a=0;
a = n * pow(2,n-1); //using corollary of binomial theorem
return a; // return the sum
}
int main()
{
int n;
n=9;
cout<<"The sum of product of r and rth binomial coefficients is "<<sum(n)<<endl;
return 0;
}
输出
The sum of product of r and rth binomial coefficients is 2304
时间复杂度：O(1)
空间复杂度：O(1)
结论
本文讨论了二项式定理的概念以及任何表达式的二项式展开的一般形式。我们讨论了二项式表达式的几个性质以及二项式定理的推论，以及它们如何用于解决代数问题，以及它们在 C++ 中的实现，以简化求解过程。
我希望在阅读完本文后，您已经理解了二项式展开和二项式定理的推论及其实现。
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