正整数指数的二项式定理

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引言

正整数指数的二项式定理指出：“展开式中项的总数比指数多一”。该数组的第n行给出了(a + b)ⁿ展开式中a的降幂和b的升幂的系数；该数组被称为帕斯卡三角形，以法国数学家布莱兹·帕斯卡(1623-1662)命名。

事实上，这个三角形要古老得多；早在1303年，它就出现在中国数学家朱世杰的作品中。事实上，这在公元10世纪被印度数学家哈拉尤达描述为梅鲁普拉斯特拉，比帕斯卡提出早700年。不仅如此，哈拉尤达的梅鲁普拉斯特拉只是对平伽1200多年前(大约公元前200年)发明的规则的阐明。

令人惊奇的是，公元前三世纪的作家平伽在他的《赞达斯苏特拉》中给出了以下表格，用于查找n个字母一次、两次、三次……取一个、两个、三个……时的组合数。首先画一个正方形。在它下面，从下边的中间开始，在两边画两个正方形。同样地，在这些正方形下面画3、4、5个正方形，在顶部的正方形的中间以及每一行第一个和最后一个正方形内写数字1。在其他每个正方形内，要写的数字是上面两个重叠的正方形中数字的和。观察你所得到的是所谓的帕斯卡三角形。

事实上，该图说明了C(n+1, r) = C(n, r) + C(n, r-1)

在本教程中，我们将学习正整数指数的二项式定理，我们将学习二项式展开式以及二项式展开式的中间项。我们还将学习二项式展开式中特定项系数的公式，并利用这些知识来解决一些示例问题。让我们首先从二项式定理开始。

正整数指数的二项式定理

任何只包含一项的表达式，例如a、5、2x²，即任何变量或常数，或一些常数和/或变量的乘积，无论是否带有一些幂，通常称为单项式。如果两个单项式由“+”或“-”号连接，则所得表达式称为二项式。例如，2+x、6x-y（即a+x的形式，包含两项a和x，并非同时都是常数）是一些二项式表达式。

二项式展开式

二项式定理的主题内容与这些二项式表达式有关。

到目前为止，你已经知道(a+b)²和(a+b)³展开式的公式，它们是通过直接将(a+b)分别乘以两次和三次得到的。但是，如果指数n是一个非常大的正数，则通过直接乘法来求(a+b)ⁿ是不可行的。因此，对于任何正数n，(a+b)ⁿ表达式的通用公式具有很大的价值。艾萨克·牛顿爵士在1664-1665年创新了这个公式。这个公式被称为“二项式定理”，其陈述如下：

$$(x+y)^n = C(n,0)x^ny^0 + C(n,1)x^{n-1}y^1 + C(n,2)x^{n-2}y^2 + ... + C(n,n-1)x^1y^{n-1} + C(n,n)x^0y^n$$

对于任何正整数n，

其中y, x是实数。

中间项

(a+b)ⁿ的二项式表达式包含(n+1)项，因此项数为偶数或奇数，取决于n是奇数还是偶数。如果(n+1)是奇数，则显然只有一个中间项，即(a+b)ⁿ展开式的第(n/2+1)项；但是如果(n+1)是偶数，则显然有两个中间项，即(a+b)ⁿ二项式展开式的第(n+1)/2项和第((n+1)/2+1)项。

二项式展开式中一项的系数

正如我们已经看到的，(a+b)ⁿ的二项式展开式包含(n+1)项。从开头算起的第r项t_r和从结尾算起的第r项t'_r被称为等距项，其中r = 1,2,3,…, n+1。因此，第一项t₁和最后一项t_n+1(=t₁')是等距项，第二项t₂和倒数第二项t_n(=t₂')是等距项。现在，从结尾算起的第r项t_r'是从开头算起的第[(n+1)-r+1]项，即第(n+2-r)项。

因此，二项式定理的通项是

$$t_r = C(n, r-1)a^{n-r+1}x^{r-1}$$

例题

1) 求(2x + 1/(3x²))⁹中与x无关的项。

答：设第(r+1)项与x无关。

现在，t_r+1 = C(9,r)(2x)^9-r(1/(3x²))^r = C(9,r)3^-rx^9-r-2r

根据假设，x^9-r-2r = x⁰; 9-3r = 0; r = 3

因此，与x无关的项是第4项。

现在，所需的项是t₄ = C(9,3)2⁶3^-3 = 1792/9

2) 如果(2/3x² - 1/(3x))⁹展开式中的第(n+1)项与x无关，则求n的值。

答：根据题意，给定二项式表达式展开式中的第(n+1)项与x无关。

现在，t_n+1 = C(9,n)(2/3x²)^9-n(-1/(3x))ⁿ = C(9,n)(2/3)^9-n(-1/3)ⁿx^18-3n

因此，x^18-3n = x⁰; 18-3n = 0; n = 6

因此，n的所需值为6。

结论

在本教程中，我们学习了正整数指数的二项式定理，我们还学习了二项式展开式以及二项式展开式的中间项。我们还学习了二项式展开式中特定项系数的公式，并利用这些新获得的知识来解决一些示例问题。

表达式(x+y)ⁿ的展开式基本上是二项式定理，展开式如下：

$$(x+y)^n = C(n,0)x^ny^0 + C(n,1)x^{n-1}y^1 + C(n,2)x^{n-2}y^2 + ... + C(n,n-1)x^1y^{n-1} + C(n,n)x^0y^n$$

它首先由艾萨克·牛顿提出，尽管这在公元10世纪被印度数学家哈拉尤达描述为梅鲁普拉斯特拉。通过按正确顺序放置值形成的三角形被称为帕斯卡三角形。

常见问题解答

1. 定义什么是二项式定理？

如果指数n是一个非常大的正数，则通过直接乘法来求(a+b)ⁿ是不可行的。艾萨克·牛顿爵士在1664-1665年创新了这个公式。这个公式被称为“二项式定理”，其陈述如下：

$$(x+y)^n = C(n,0)x^ny^0 + C(n,1)x^{n-1}y^1 + C(n,2)x^{n-2}y^2 + ... + C(n,n-1)x^1y^{n-1} + C(n,n)x^0y^n$$

2. 求二项式定理中存在的常数项。

常数项基本上是不含任何变量的项。在

$$(a+y)^n = C(n,0)a^ny^0 + C(n,1)a^{n-1}y^1 + C(n,2)a^{n-2}y^2 + ... + C(n,n-1)a^1y^{n-1} + C(n,n)a^0y^n$$

中，考虑a为常数，则第一项C(n,0)aⁿ是常数项。

3. 说明二项式定理中存在的系数。

二项式定理的通项是t_r = C(n, r-1)a^n-r+1x^r-1。根据此值，我们可以很容易地说，二项式定理中通项的系数是C(n, r-1)a^n-r+1，它是x^r-1的系数。

4. 求二项式定理中存在的通项。

从结尾算起的第r项t_r'是从开头算起的第[(n+1)-r+1]项，即第(n+2-r)项。因此，二项式定理的通项是

$$t_r = C(n, r-1)a^{n-r+1}x^{r-1}$$

5. 说明二项式定理中存在的项数。

如果我们考虑展开式

(a+y)ⁿ = C(n,0)aⁿy⁰ + C(n,1)a^n-1y¹ + C(n,2)a^n-2y² + ... + C(n,n-1)a¹y^n-1 + C(n,n)a⁰yⁿ，则此处存在的项数为(n+1)。