利用因式定理证明对于任何奇正整数 n，$(x+a)$ 都是 $(x^n+a^n)$ 的因式。

待解决：利用因式定理证明$(x+a) $ 是 $(x^n+a^n)$ 的因式，其中 n 为任何奇正整数。

解答

根据因式定理，如果 $f(x)$ 是一个次数为 n ≥ 1 的多项式，并且 'a' 是任何实数，那么，$(x-a)$ 是 $f(x)$ 的因式，当且仅当 $f(a)=0$。

令 $p(x) = x^n + a^n$，其中 n 为奇正整数。

令 $(x+a)= 0$

$=> x = -a$

考虑

$p(-a) = (-a) ^n + (a) ^n$

=$ -a^n + a^n$

= 0

由于 n 是奇数，根据因式定理，

当 n 为奇正整数时，$(x+a)$ 是 $p(x)$ 的因式。

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更新于： 2022年10月10日

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