对于任意正整数n，证明$n^3-n$可被6整除。

已知

$n^3\ -\ n$

要证明

这里我们要证明，对于任意正整数n，$n^3-n$可被6整除。

解答

让我们考虑：

$x\ =\ n^3\ –\ n$

提取公因数n

$x\ =\ n(n^2\ –\ 1)$

$x\ =\ n(n^2\ –\ 1^2)$

使用公式 {$a^2-b^2=$ (a $+$ b)(a $-$ b)}

$x\ =\ n(n\ +\ 1)(n\ –\ 1)$

我们知道(n $-$ 1)，(n)和(n $+$ 1)是三个连续的数。所以我们可以得出结论

• 其中一个数一定是偶数，且$x$可以被2整除。

• 其中一个数一定是3的倍数，且$x$也可以被3整除。

现在，

如果一个数既可以被2整除又可以被3整除，那么这个数就可以被6整除。

所以，对于任意正整数n，$n^3\ –\ n$都可以被6整除。

教程点

更新时间： 2022年10月10日

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