利用数学归纳法的原理，证明以下等式。
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{\left(3^{n}-1\right)}{2}$

已知： $1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{\left(3^{n}-1\right)}{2}$

要求：利用数学归纳法的原理，证明对所有 $n\epsilon N$，$1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{\left(3^{n}-1\right)}{2}$ 成立。

假设 $P ( n):1+3+3^2++3^{n-1}=\frac{( 3^n-1)}{2}$

当 $n=1$ 时，$L.H.S.=1$

$R.H.S.=\frac{( 3^1-1)}{2}=\frac{( 3^1)}{2}=\frac{( 2)}{2}=1$

因此，$L.H.S.=R.H.S.$

$P( n)$ 当 $n=1$ 时成立。

我们假设 $P( k)$ 成立

$1+3+3^2+..+ 3^{k-1}=\frac{( 3^k-1)}{2}$ ............$( i)$

对于 $P( k+1)$

$1+3+3^2+..+ 3^{( k+1)-1}=\frac{( 3^{k+1}-1)}{2}$

$1+3+3^2+...3^{k-1}+3^k=\frac{( 3^{k+1}-1)}{2}$ ........$( ii)$

我们需要从 $P( k)$ 推导出 $P( k+1)$，即从 $( i)$ 推导出 $( ii)$。

从 $( i)$， 

$1+3+3^2+..+ 3^{k-1}=\frac{( 3^k-1)}{2}$

 

两边同时加上 $3^k$ 

$1+3+3^2+..+3^{k-1}+3^k=\frac{( 3^k-1)}{2}+3^k$

$=\frac{( 3^k-1)+2( 3^k))}{2}$

$=\frac{( 3^k-1+2(3^k)}{2}$

$=\frac{( 3(3^k)-1)}{2}$

$=\frac{(  3^{k+1}-1)}{2}$

 

因此，$1+3+3^2+..3^{k-1}+3^{k}=\frac{( 3^{k+1})-1)}{2}$ 

因此我们发现，当 $P( k)$ 成立时，$P( k+1)$ 也总是成立。根据数学归纳法的原理，

$P( n)$ 对所有 $n\epsilon N$ 成立。