求和
\( 4-\frac{1}{n}+4-\frac{2}{n}+4-\frac{3}{n}+\ldots \) 直到 \( n \) 项

已知

已知数列为 \( \left(4-\frac{1}{n}\right)+\left(4-\frac{2}{n}\right)+\left(4-\frac{3}{n}\right)+\ldots . \)

求解

我们需要求这个数列的n项和。

解法

设该等差数列的项数为 $n$，首项为 $a$，公差为 $d$。

首项 $a_1=a=4-\frac{1}{n}$

第二项 $a_2= 4-\frac{2}{n}$

公差 $d=a_2-a_1=4-\frac{2}{n}-(4-\frac{1}{n})=\frac{-2+1}{n}=\frac{-1}{n}$

我们知道：

n项和 $S_{n} =\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$=\frac{n}{2}[2(4-\frac{1}{n})+(n-1)(\frac{-1}{n})]$

$=\frac{n}{2}[\frac{8n-2-n+1}{n}]$

$=\frac{n}{2}(\frac{7n-1}{n})$

$=\frac{7n-1}{2}$

因此，该数列的n项和为 $\frac{7n-1}{2}$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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