证明对于任何素数正整数 $p$，$\sqrt{p}$ 是一个无理数。

已知：正整数 $p$。

证明：这里我们要证明对于任何素数正整数 $p$，$\sqrt{p}$ 是一个无理数。

解

假设，与之相反，$\sqrt{p}$ 是有理数。

因此，我们可以找到整数 $a$ 和 $b$（$≠$ 0），使得 $\sqrt{p}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 $a$ 和 $b$ 互质。

现在，

$\sqrt{p}\ =\ \frac{a}{b}$

两边平方:

$(\sqrt{p})^2\ =\ (\frac{a}{b})^2$

$p\ =\ \frac{a^2}{b^2}$

$pb^2\ =\ a^2$   ...(1)

因此，$p$ 整除 $a^2$。这意味着 $p$ 也整除 $a$。所以，我们可以写成 $a\ =\ pc$，其中 $c$ 是某个整数。

$a\ =\ pc$

两边平方:

$a^2\ =\ p^2c^2$

将 $a^2$ 的值代入方程 (1)

$pb^2\ =\ p^2c^2$

$b^2\ =\ pc^2$

因此，$p$ 整除 $b^2$。这意味着 $p$ 也整除 $b$。

所以，$a$ 和 $b$ 至少有 $p$ 作为公因子。

但这与 $a$ 和 $b$ 除了 1 之外没有其他公因子的事实相矛盾。

这种矛盾是由于我们错误地假设 $\sqrt{p}$ 是有理数而产生的。

所以，我们可以得出结论，$\sqrt{p}$ 是无理数。

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更新于： 2022 年 10 月 10 日

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