已知$\sqrt{3}$是无理数，证明$\frac{2\ +\ \sqrt{3}}{5}$也是无理数。

已知：$\frac{2\ +\ \sqrt{3}}{5}$

要求：证明$\frac{2\ +\ \sqrt{3}}{5}$是无理数。

解答

我们假设$\frac{2\ +\ \sqrt{3}}{5}$是有理数。

那么，我们可以找到整数a和b（b≠0），使得$\frac{2\ +\ \sqrt{3}}{5}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中a和b互质。

现在，

$\frac{2\ +\ \sqrt{3}}{5}\ =\ \frac{a}{b}$

$2\ +\ \sqrt{3}\ =\ \frac{5a}{b}$

$\sqrt{3}\ =\ \frac{5a}{b}\ -\ 2$

$\sqrt{3}\ =\ \frac{5a\ -\ 2b}{b}$

这里，$\frac{5a\ -\ 2b}{b}$是有理数，但$\sqrt{3}$是无理数。

但是，无理数≠有理数。

这个矛盾是由于我们错误地假设$\frac{2\ +\ \sqrt{3}}{5}$是有理数而引起的。

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更新于：2022年10月10日

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