根号2为无理数，证明(5 + 3根号2)为无理数。

题目：  5 + 3根号2

目标： 证明 5 + 3根号2 为无理数。

解题

我们进行如下假设， 5 + 3根号2 是有理数。

因此，我们可以找到整数 a 和 b (≠ 0) 使得 5 + 3根号2 = a/b。

其中 a 和 b 是互质数。

那么，

5 + 3根号2 = a/b

3根号2 = a/b - 5

3根号2 = (a - 5b)/b

根号2 = (a - 5b)/3b

其中，(a - 5b)/3b 是有理数，而根号2 是无理数。 

但是，无理数 ≠ 有理数。

这个矛盾是由我们错误地假设 5 + 3根号2 是有理数引起的。

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更新于： 2022 年 10 月 10 日

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