已知 $\sqrt{2}$ 是无理数，证明$( 5+3\sqrt{2})$ 是无理数。

给定： $\sqrt{2}$ 是无理数。

待证明： 证明 $( 5+3\sqrt{2})$ 是无理数。

让我们假设 $( 5+3\sqrt{2})$ 是有理数。

 那么存在互素的正整数 a 和 b，使得 

 $5+3\sqrt{2}=\frac{a}{b}$

$\Rightarrow 3\sqrt{2}=\frac{a}{b}-5$

$\Rightarrow \sqrt{2}=\frac{a-5b}{3b}$

$\sqrt{2}$ 是无理数。[ a, b 为整数，$\frac{a-5b}{3b}$ 是有理数]。

这与 $\sqrt{2}$ 是无理数的事实相矛盾。

因此我们的假设不成立。

所以，$5+3\sqrt{2}$ 是无理数。