证明 $5 − 2\sqrt{3}$ 是无理数。

已知： $5\ −\ 2\sqrt{3}$

待完成工作： 此处我们必须证明 $5\ −\ 2\sqrt{3}$ 是一个无理数。

解法

反向假设一下，认为 $5\ −\ 2\sqrt{3}$ 是有理数。

所以，我们可以找到整数 a 和 b ($≠$ 0)，使得  $5\ −\ 2\sqrt{3}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 互质。

现在，

$5\ −\ 2\sqrt{3}\ =\ \frac{a}{b}$

$5\ −\ \frac{a}{b}\ =\ 2\sqrt{3}$

$\frac{5b\ -\ a}{b}\ =\ 2\sqrt{3}$

$\frac{5b\ -\ a}{2b}\ =\ \sqrt{3}$

此处，$\frac{5b\ -\ a}{2b}$ 是一个有理数，但 $\sqrt{3}$ 是一个无理数。 

但是，有理数  $≠$  无理数。

由于我们不正确的假设 $5\ −\ 2\sqrt{3}$ 是有理数，才导致了这种矛盾。

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更新时间： 2022 年 10 月 10 日

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