证明 $2-3\sqrt{5}$ 是个无理数。

已知：数字 $2-3\sqrt{5}$

要证明：已给数字是无理数。

设 $2-3\sqrt{5} =x$ 且 x 为有理数。

$\therefore \ 2-x=3\sqrt{5} ,\ 2-x$ 也将是有理数。

$\therefore \frac{\ ( 2-x)}{3} =\frac{( 3\surd 5)}{3} =\sqrt{5}$ 

 

如果 x 是有理数，则 $2-x$ 也是有理数，且 $\frac{2-x}{3}$ 也应是有理数。

但我们在这里发现 $\therefore \frac{\ ( 2-x)}{3} =5\ $ 且 $\sqrt{5}$ 永远不可能是有理数。 

我们的假设 x 是有理数是错误的。

因此，已证明 $2-3\sqrt{5}$ 是无理数。