证明 $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ 是无理数。

待办事项

我们证明 $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ 是无理数。

求解

令 $x=\sqrt{3}+\sqrt{5}$ 是有理数。

两边平方，我们得到，

$x^{2}=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2}$

$x^{2}=3+5+2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{5}$

$x^{2}=8+2 \sqrt{15}$

$x^{2}-8=2 \sqrt{15}$

$\Rightarrow \frac{x^{2}-8}{2}=\sqrt{15}$

$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}$ 是有理数。

这意味着，

$\frac{x^{2}-8}{2}$ 应是有理数。

$\Rightarrow \sqrt{15}$ 是有理数。
但这不可能，因为 $\sqrt{15}$ 是无理数。

因此，我们假设 $x=\sqrt{3}+\sqrt{5}$ 是有理数是错误的。

因此，$\sqrt{3}+\sqrt{5}$ 是无理数。 

教程点

更新于: 2022 年 10 月 10 日

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