已知$\sqrt{3}$是无理数，证明$2 + 5\sqrt{3}$是无理数。

已知： $2 + 5\sqrt{3}$

要求： 证明 $2 + 5\sqrt{3}$ 是无理数。

解答

假设，与题设相反，$2 + 5\sqrt{3}$ 是有理数。

那么，我们可以找到整数 a 和 b（b≠0），使得 $2 + 5\sqrt{3} = \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 互质。

现在，

$2 + 5\sqrt{3} = \frac{a}{b}$

$5\sqrt{3} = \frac{a}{b} - 2$

$5\sqrt{3} = \frac{a - 2b}{b}$

$\sqrt{3} = \frac{a - 2b}{5b}$

这里，$\frac{a - 2b}{5b}$ 是一个有理数，但是 $\sqrt{3}$ 是无理数。

但是，无理数 ≠ 有理数。

这种矛盾是由于我们错误地假设 $2 + 5\sqrt{3}$ 是有理数而产生的。

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更新于：2022年10月10日

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