证明以下数字为无理数。
$\frac{3}{2\sqrt{5}}$

已知： $\frac{3}{2\sqrt{5}}$

待做： 我们需要证明 $\frac{3}{2\sqrt{5}}$ 是无理数。

解

假设，为反证，$\frac{3}{2\sqrt{5}}$ 是有理数。

因此，我们可以找到整数 a 和 b ($≠$ 0)，使得  $\frac{3}{2\sqrt{5}}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 互质。

现在，

$\frac{3}{2\sqrt{5}}\ =\ \frac{a}{b}$

$\frac{3b}{2a}\ =\ \sqrt{5}$

这里，$\frac{3b}{2a}$ 是有理数，但 $\sqrt{5}$ 是无理数。 

可是，有理数  $≠$  无理数。

这种矛盾是因为我们错误地假设 $\frac{3}{2\sqrt{5}}$ 是有理数。

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更新于： 2022 年 10 月 10 日

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