證明以下數字為無理數。
$4+\sqrt{2}$

給定： $4\ +\ \sqrt{2}$

要完成的任務： 在此我們證明 $4\ +\ \sqrt{2}$ 為無理數。

解答

我們反過來假設 $4\ +\ \sqrt{2}$ 為有理數。

因此，我們可以找到整數 a 和 b ($≠$ 0) 使得  $4\ +\ \sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}$。

a 和 b 為互質數。

現在，

$4\ +\ \sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}$

$\sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}\ -\ 4$

$\sqrt{2}\ =\ \frac{a\ -\ 4b}{b}$

在此，$\frac{a\ -\ 4b}{b}$ 為有理數，但 $\sqrt{2}$ 為無理數。 

但無理數  $≠$  有理數。

這個矛盾是因為我們錯誤地假設 $4\ +\ \sqrt{2}$ 為有理數。

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更新於： 2022 年 10 月 10 日

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