证明以下数字无理数
$\frac{2}{\sqrt{7}}$

已知： $\frac{2}{\sqrt{7}}$

求： 这里必须证明 $\frac{2}{\sqrt{7}}$ 是无理数。

解答

假设，相反，$\frac{2}{\sqrt{7}}$ 是有理数。

所以，我们可以找到整数 a 和 b ($≠$ 0) 使得  $\frac{2}{\sqrt{7}}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 是互质的。

现在，

$\frac{2}{\sqrt{7}}\ =\ \frac{a}{b}$

$\frac{2b}{a}\ =\ \sqrt{7}$

这里，$\frac{2b}{a}$ 是有理数，但 $\sqrt{7}$ 是无理数。

但是，有理数  $≠$  无理数。

由于我们错误地假设 $\frac{2}{\sqrt{7}}$ 是有理数，因此产生了此矛盾。

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更新时间：10-10-2022

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