证明 $4 − 5\sqrt{2}$ 是一个无理数。

已知： $4\ −\ 5\sqrt{2}$

要求： 这里我们要证明 $4\ −\ 5\sqrt{2}$ 是一个无理数。

解

假设，与之相反，$4\ −\ 5\sqrt{2}$ 是有理数。

因此，我们可以找到整数 a 和 b（$≠$ 0），使得 $4\ −\ 5\sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 互质。

现在，

$4\ −\ 5\sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}$

$4\ -\ \frac{a}{b}\ =\ 5\sqrt{2}$

$\frac{4b\ -\ a}{b}\ =\ 5\sqrt{2}$

$\frac{4b\ -\ a}{5b}\ =\ \sqrt{2}$

这里，$\frac{4b\ -\ a}{5b}$ 是一个有理数，但 $\sqrt{2}$ 是一个无理数。

但是，有理数 $≠$ 无理数。

这种矛盾是由于我们错误地假设 $4\ −\ 5\sqrt{2}$ 是有理数而产生的。

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更新于： 2022年10月10日

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