证明$\sqrt{2}$是一个无理数。

已知：数字：$\sqrt{2}$。

需要做：证明给定数字是无理数。

假设$\sqrt{2}$是有理数。

$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$，其中$p$和$q$是互质整数，且

$q =0$

$\Rightarrow \sqrt{2}q=p$

$\Rightarrow 2q^{2}=p^{2}$                                .............$( i)$

$\Rightarrow 2\ 整除\ p^{2}$

$\Rightarrow 2\ 整除\ $p$                               ...............$( A)$

设$p =2c$，其中$c$为某个整数

$p^{2}= 4c^{2}$

$2q^{2}=4c^{2}$

$\Rightarrow q^{2}=2c^{2}$

$\Rightarrow 2\ 整除\ q^{2}$

$\Rightarrow 2\ 整除\ q$                            .................$( B)$

 由$( A)$和$( B)$可知，2是$p$和$q$的公因子。

但这与$p$和$q$除了1之外没有其他公因子的事实相矛盾。

我们的假设是错误的，因此

 $\sqrt{2}$是一个无理数。