证明√2是一个无理数。
已知:数字:√2。
需要做:证明给定数字是无理数。
解
假设√2是有理数。
√2=pq,其中p和q是互质整数,且
q=0
⇒√2q=p
⇒2q2=p2 .............(i)
⇒2 整除 p2
⇒2 整除 p...............( A)$
设p=2c,其中c为某个整数
p2=4c2
2q2=4c2
⇒q2=2c2
⇒2 整除 q2
⇒2 整除 q .................(B)
由(A)和(B)可知,2是p和q的公因子。
但这与p和q除了1之外没有其他公因子的事实相矛盾。
我们的假设是错误的,因此
√2是一个无理数。
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