证明 $2\sqrt3 − 1$ 是一个无理数。

已知： $2\sqrt3\ −\ 1$

要求： 这里我们要证明 $2\sqrt3\ −\ 1$ 是一个无理数。

解答

假设，相反地，$2\sqrt3\ −\ 1$ 是有理数。

因此，我们可以找到整数 a 和 b（$≠$ 0），使得  $2\sqrt3\ −\ 1\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 互质。

现在，

$2\sqrt3\ −\ 1\ =\ \frac{a}{b}$

$2\sqrt3\ =\ \frac{a}{b}\ +\ 1$

$2\sqrt3\ =\ \frac{a\ +\ b}{b}$

$\sqrt3\ =\ \frac{a\ +\ b}{2b}$

这里，$\frac{a\ +\ b}{2b}$ 是一个有理数，但 $\sqrt{3}$ 是一个无理数。

但是，无理数  $≠$  有理数。

这个矛盾是由于我们错误地假设 $2\sqrt3\ −\ 1$ 是有理数而产生的。

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更新时间： 2022年10月10日

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