证明根号2是无理数。

已知：根号2。

求证： 我们需要证明√2是无理数。

解： 

为了证明这一点，我们首先需要理解定理1.3： 

设𝑝是一个素数。如果𝑝能整除𝑎²，则𝑝能整除𝑎，其中𝑎是一个正整数。

现在，

我们假设，与之相反，√2是是有理数。

因此，我们可以找到整数a和b（≠ 0），使得√2 = $\frac{a}{b}$。

其中a和b互质。

⇒    (√2)2 = $\frac{a}{b}$2

⇒    2 = $\ \frac{a^{2}}{b^{2}}$

⇒    2𝑏2 = 𝑎2

因此，2能整除𝑎2。

现在，根据定理1.3，可以推出2能整除a。

所以，我们可以写成a = 2c，其中c是某个整数。

⇒    𝑎2 = 4𝑐2

⇒    2𝑏2 = 4𝑐2         (使用，2𝑏2 = 𝑎2)

⇒    𝑏2 = 2𝑐2

因此，2能整除𝑏2。

现在，根据定理1.3，可以推出2能整除b。

因此，a和b至少有2作为公因子。

但这与a和b除了1之外没有其他公因子的事实相矛盾。

这种矛盾是由于我们错误地假设√2是有理数而产生的。

所以，我们得出结论，√2是无理数。

教程点

更新于： 2022年10月10日

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