证明 $3+2 \sqrt5$ 是无理数。

已知: 

$3\ +\ 2\sqrt{5}$

待做: 

在此，我们要证明 $3\ +\ 2\sqrt{5}$ 是无理数。

解题

让我们反证一下，假设 $3\ +\ 2\sqrt{5}$ 是有理数。

那么，我们可以找到整数 a 和 b ($≠$ 0)，使得 $3\ +\ 2\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 是互质的。

现在，

$3\ +\ 2\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}$

$2\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}\ -\ 3$

$2\sqrt{5}\ =\ \frac{a\ -\ 3b}{b}$

$\sqrt{5}\ =\ \frac{a\ -\ 3b}{2b}$

则  $\frac{a\ -\ 3b}{2b}$ 是有理数，但 $\sqrt{5}$ 是无理数。 

但是，无理数 $≠$ 有理数。

这种矛盾的出现是因为我们错误地假设 $3\ +\ 2\sqrt{5}$ 是有理数。

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更新于: 2022-10-10

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