证明$\sqrt5$是无理数。

求解： 

我们需要证明$\sqrt5$是无理数。

解答： 

我们知道，

如果$p$是一个素数，并且如果$p$整除$a^2$，那么$p$整除$a$，其中$a$是一个正整数。

现在，

让我们假设，与之相反，$\sqrt5$是有理数。

因此，我们可以找到整数$a$和$b (≠ 0)$，使得$\sqrt5= \frac{a}{b}$。

其中$a$和$b$互质。

⇒    $(\sqrt5)^2= (\frac{a}{b})^2$

⇒    $5 = \frac{a^{2}}{b^{2}}$

⇒    $5b^2 =a^2$

因此，$5$整除$a^2$

这意味着，

$5$整除$a$。

所以，我们可以写成$a = 5c$，其中$c$是某个整数。

⇒    $a^2 = 25c^2$

⇒    $5b^2 = 25c^2$        (使用，$5b^2= a^2$)

⇒   $b^2 = 5c^2$

因此，5整除$b^2$。

这意味着，

$5$整除$b$。

因此，$a$和$b$至少有$5$作为公因子。

但这与$a$和$b$除了1之外没有其他公因子的事实相矛盾。

这种矛盾是由于我们错误地假设$\sqrt5$是有理数而产生的。

所以，我们得出结论，$\sqrt5$是无理数。

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更新于： 2022年10月10日

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