证明√5是无理数

为了证明这一点，我们需要先了解定理 1.3：

设𝑝为一个素数。如果𝑝能整除𝑎2，则𝑝能整除𝑎，其中𝑎是一个正整数。

现在，

让我们假设，与之相反，√5是是有理数。

因此，我们可以找到整数a和b（≠ 0），使得√5 = 𝑎/𝑏。

其中a和b互质。

⇒    (√5)2 =$\left(\frac{a}{b}\right)^{2}$

⇒    5 = $(\frac{a^{2}}{b^{2}})$ 

⇒    5𝑏2 = 𝑎2

因此，5能整除𝑎2。

现在，根据定理 1.3，可以得出5能整除a。

所以，我们可以写成a = 5c，其中c为某个整数。

⇒    𝑎2 = 25𝑐2

⇒    5𝑏2 = 25𝑐2         (使用，5𝑏2 = 𝑎2)

⇒    𝑏2 = 5𝑐2

因此，5能整除𝑏2。

现在，根据定理 1.3，可以得出5能整除b。

因此，a和b至少有5作为公因数。

但这与a和b除了1之外没有其他公因数的事实相矛盾。

这种矛盾是由于我们错误地假设√5是有理数而产生的。

所以，我们得出结论，√5是无理数。

教程点

更新于：2022年10月10日

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