证明$\sqrt5 + \sqrt3$是无理数。

已知：$\sqrt5\ +\ \sqrt3$

要求：这里我们要证明$\sqrt5\ +\ \sqrt3$是一个无理数。

解答

我们假设，$\sqrt5\ +\ \sqrt3$是有理数。

因此，我们可以找到整数a和b（b≠0），使得$\sqrt5\ +\ \sqrt3\ =\ \frac{a}{b}$。

其中a和b互质。

现在，

$\sqrt5\ +\ \sqrt3\ =\ \frac{a}{b}$

$\sqrt3\ =\ \frac{a}{b}\ -\ \sqrt5$

两边平方:

$(\sqrt{3} )^{2} \ =\ \left(\frac{a}{b} \ -\ \sqrt{5}\right)^{2}$

$3\ =\ \left(\frac{a}{b}\right)^{2} \ +\ 5\ -\ 2\sqrt{5}\left(\frac{a}{b}\right)$

$3\ =\ \frac{a^{2}}{b^{2}} \ +\ 5\ -\ 2\sqrt{5}\left(\frac{a}{b}\right)$

$2\sqrt{5}\left(\frac{a}{b}\right) \ =\ \frac{a^{2}}{b^{2}} \ +\ 5\ -\ 3$

$2\sqrt{5}\left(\frac{a}{b}\right) \ =\ \frac{a^{2}}{b^{2}} \ +\ 2$

$2\sqrt{5}\left(\frac{a}{b}\right) \ =\ \frac{a^{2} \ +\ 2b^{2}}{b^{2}}$

$\sqrt{5} \ =\ \frac{a^{2} \ +\ 2b^{2}}{b^{2}} \ \times \ \frac{b}{2a}$

$\sqrt{5} \ =\ \frac{a^{2} \ +\ 2b^{2}}{2ab}$

这里，$\frac{a^{2} \ +\ 2b^{2}}{2ab}$是有理数，但$\sqrt{5}$是无理数。

但是，有理数≠无理数。

这种矛盾是由于我们错误地假设$\sqrt5\ +\ \sqrt3$是有理数而产生的。

教程点

更新于：2022年10月10日

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