证明 $\sqrt2 + \sqrt3$ 是无理数。

已知： $\sqrt2\ +\ \sqrt3$

要求： 这里我们要证明 $\sqrt2\ +\ \sqrt3$ 是一个无理数。

解答

假设，与之相反，$\sqrt2\ +\ \sqrt3$ 是有理数。

因此，我们可以找到整数 a 和 b（$≠$ 0），使得  $\sqrt2\ +\ \sqrt3\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 互质。

现在，

$\sqrt2\ +\ \sqrt3\ =\ \frac{a}{b}$

$\sqrt3\ =\ \frac{a}{b}\ -\ \sqrt2$

两边平方:

$(\sqrt{3} )^{2} \ =\ \left(\frac{a}{b} \ -\ \sqrt{2}\right)^{2}$

$3\ =\ \left(\frac{a}{b}\right)^{2} \ +\ 2\ -\ 2\sqrt{2}\left(\frac{a}{b}\right)$

$3\ =\ \frac{a^{2}}{b^{2}} \ +\ 2\ -\ 2\sqrt{2}\left(\frac{a}{b}\right)$

$2\sqrt{2}\left(\frac{a}{b}\right) \ =\ \frac{a^{2}}{b^{2}} \ +\ 2\ -\ 3$

$2\sqrt{2}\left(\frac{a}{b}\right) \ =\ \frac{a^{2}}{b^{2}} \ -\ 1$

$2\sqrt{2}\left(\frac{a}{b}\right) \ =\ \frac{a^{2} \ -\ b^{2}}{b^{2}}$

$\sqrt{2} \ =\ \frac{a^{2} \ -\ b^{2}}{b^{2}} \ \times \ \frac{b}{2a}$

$\sqrt{2} \ =\ \frac{a^{2} \ -\ b^{2}}{2ab}$

这里，$\frac{a^{2} \ -\ b^{2}}{2ab}$ 是一个有理数，但 $\sqrt{2}$ 是一个无理数。

但是，无理数  $≠$  有理数。

这种矛盾是由于我们错误地假设 $\sqrt2\ +\ \sqrt3$ 是有理数而产生的。

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更新于： 2022年10月10日

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