证明 $3 + 2\sqrt5$ 是无理数。

给定： 

$3\ +\ 2\sqrt{5}$

要做的事情： 

这里我们必须证明 $3\ +\ 2\sqrt{5}$  是无理数。

解决方案

反之，我们假设 $3\ +\ 2\sqrt{5}$ 是有理数。

因此，我们可以找到整数a和b($≠$ 0)使得 $3\ +\ 2\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中a和b互质。

现在，

$3\ +\ 2\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}$

$2\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}\ -\ 3$

$2\sqrt{5}\ =\ \frac{a\ -\ 3b}{b}$

$\sqrt{5}\ =\ \frac{a\ -\ 3b}{2b}$

这里，$\frac{a\ -\ 3b}{2b}$ 是有理数，而 $\sqrt{5}$ 是无理数。 

但是，无理数 $≠$ 有理数。

由于我们错误地假设 $3\ +\ 2\sqrt{5}$ 为有理数，因此出现了这种矛盾。

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更新日期：10-Oct-2022

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