证明 $2 − \sqrt{3}$ 是一个无理数。

已知： $2\ −\ \sqrt{3}$

求解： 我们要证明 $2\ −\ \sqrt{3}$ 是一个无理数。

解法

假设，反过来， $2\ −\ \sqrt{3}$ 是有理数。

因此，我们可以找到整数 a 和 b ($≠$ 0) 使得  $2\ −\ \sqrt{3}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中，a 和 b 是互质数。

现，

$2\ −\ \sqrt{3}\ =\ \frac{a}{b}$

$2\ -\ \frac{a}{b}\ =\ \sqrt{3}$

$\frac{2b\ -\ a}{b}\ =\ \sqrt{3}$

其中，$\frac{2b\ -\ a}{b}$ 是一个有理数，而 $\sqrt{3}$ 是一个无理数。 

但是，有理数  $≠$  无理数。

此矛盾产生于我们错误地假设 $2\ −\ \sqrt{3}$ 是有理数。

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更新于：2022 年 10 月 10 日

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