为什么$\sqrt{3}$是一个无理数？

已知

给定的数字是 $\sqrt{3}$。

要做的事

我们必须证明，为什么$\sqrt{3}$是一个无理数。

解答

设 p 为一个素数。如果 p 整除 $a^2$，则 p 整除 a，其中 a 为一个正整数。

现在，

让我们假设，相反地，$\sqrt{3}$ 是有理数。

所以，我们可以找到整数 a 和 b $(≠ 0)$ 使得 $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 互质。

$⇒    (\sqrt{3})^2 = (\frac{a}{b})^2$

$⇒    3= \frac{a^2}{b^2}$

$⇒    3b^2 = a^2$

因此，3 整除 $a^2$。

现在，根据上述陈述，可以得出 3 整除 a。

所以，我们可以写成 $a = 3c$，其中 c 为某个整数。

$⇒    a^2 = 9c^2$

$⇒    3b^2 = 9c^2$         $(使用, 3b^2 = a^2)$

$⇒    b^2 = 3c^2$

因此，3 整除 $b^2$。

现在，根据上述陈述，可以得出 3 整除 b。

因此，a 和 b 至少有 3 作为公因数。

但这与 a 和 b 之间除了 1 之外没有其他公因数的事实相矛盾。

这种矛盾是由于我们错误地假设 $\sqrt{3}$ 是有理数而产生的。

所以，我们得出结论，$\sqrt{3}$ 是无理数。

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更新于: 2022年10月10日

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