证明以下数字为无理数。
$3-\sqrt{5}$

已知： $3\ -\ \sqrt{5}$

待证明： 这里我们必须证明 $3\ -\ \sqrt{5}$ 是一个无理数。

解

让我们反过来假设 $3\ -\ \sqrt{5}$ 是一个有理数。

所以，我们可以找到整数 a 和 b ($≠$ 0) 使得  $3\ -\ \sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 是互质的。

现在，

$3\ -\ \sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}$

$\sqrt{5}\ =\ 3\ -\ \frac{a}{b}$

$\sqrt{5}\ =\ \frac{3b\ -\ a}{b}$

这里，$\frac{3b\ -\ a}{b}$ 是一个有理数，但 $\sqrt{5}$ 是一个无理数。 

但是，无理数 ≠ 有理数。

由于我们错误地假设 $3\ -\ \sqrt{5}$ 是有理数，所以产生了这个矛盾。

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更新于： 10-10-2022

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