证明 $3 + \sqrt{2}$ 是一个无理数。

给定： $3\ +\ \sqrt{2}$

要完成的任务：这里我们必须证明 $3\ +\ \sqrt{2}$ 是一个无理数。

解

我们反向假设 $3\ +\ \sqrt{2}$ 是有理数。

因此，我们可以找到整数 a 和 b（$≠$ 0），使得  $3\ +\ \sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 为互质数。

现在，

$3\ +\ \sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}$

$\sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}\ -\ 3$

$\sqrt{2}\ =\ \frac{a\ -\ 3b}{b}$

这里，$\frac{a\ -\ 3b}{b}$ 是一个有理数，而 $\sqrt{2}$ 是一个无理数。 

但是，有理数  $≠$  无理数。

这种矛盾是因为我们错误地假设 $3\ +\ \sqrt{2}$ 是有理数。

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更新时间：2022 年 10 月 10 日

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