证明以下数字为无理数。
$6+\sqrt{2}$

已知： $6\ +\ \sqrt{2}$

求解： 这里我们要证明 $6\ +\ \sqrt{2}$ 是无理数。

解题

我们假设，通过否定，$6\ +\ \sqrt{2}$ 是有理数。

所以，我们可以找到整数 a 和 b ($≠$ 0) 使得  $6\ +\ \sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 互质。

现在，

$6\ +\ \sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}$

$\sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}\ -\ 6$

$\sqrt{2}\ =\ \frac{a\ -\ 6b}{b}$

这里，$\frac{a\ -\ 6b}{b}$ 是有理数，但 $\sqrt{2}$ 是无理数。 

但是，无理数  $≠$  有理数。

这个矛盾产生于我们错误地假设 $6\ +\ \sqrt{2}$ 是有理数。

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更新于：2022-10-10

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