如果p，q是素数正整数，证明√p + √q是无理数。

已知： p，q是素数正整数。

证明： 这里我们要证明 √p + √q 是无理数。

解答

我们假设，与结论相反，√p + √q 是有理数。

因此，我们可以找到整数a和b（b≠0），使得 √p + √q = a/b。

其中a和b互质。

现在，

√p + √q = a/b

√p = a/b - √q

两边平方:

(√p)² = (a/b - √q)²

p = (a/b)² + (√q)² - 2(a/b)(√q)

p = a²/b² + q - 2(a/b)(√q)

2(a/b)(√q) = a²/b² + q - p

√q = (b/2a)(a²/b² + q - p)

这里，(b/2a)(a²/b² + q - p)是有理数，但是√q是无理数。

但是，无理数 ≠ 有理数。

这个矛盾是由于我们错误地假设√p + √q是有理数而产生的。

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更新于：2022年10月10日

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