证明当p和q为素数时，$\sqrt{p} + \sqrt{q}$是无理数。

已知：

p和q是素数。

要求：

我们必须证明$\sqrt{p} + \sqrt{q}$是无理数。

解答

我们假设，与结论相反，$\sqrt{p} + \sqrt{q}$是有理数。

因此，我们可以找到整数a和b（b≠0），使得$\sqrt{p} + \sqrt{q} = \frac{a}{b}$。

其中a和b互质。

现在，

$\sqrt{p} + \sqrt{q} = \frac{a}{b}$

$\sqrt{p} = \frac{a}{b} - \sqrt{q}$

两边平方:

$(\sqrt{p})^2 = (\frac{a}{b} - \sqrt{q})^2$

$p = (\frac{a}{b})^2 + (\sqrt{q})^2 - 2(\frac{a}{b})(\sqrt{q})$

$p = \frac{a^2}{b^2} + q - 2(\frac{a}{b})(\sqrt{q})$

$2(\frac{a}{b})(\sqrt{q}) = \frac{a^2}{b^2} + q - p$

$\sqrt{q} = (\frac{b}{2a})(\frac{a^2}{b^2} + q - p)$

这里，$(\frac{b}{2a})(\frac{a^2}{b^2} + q - p)$是有理数，但是$\sqrt{q}$是无理数（除非q是完全平方数，但p和q是素数，故此情况不可能）。

但是，无理数≠有理数。

这个矛盾源于我们错误的假设，即$\sqrt{p} + \sqrt{q}$是有理数。

所以，这证明了$\sqrt{p} + \sqrt{q}$是无理数。

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更新于：2022年10月10日

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