傅里叶级数的吉布斯现象

什么是吉布斯现象？

吉布斯现象是由1848年的亨利·威尔布拉姆发现，之后于1899年由J·威拉德·吉布斯重新发现。

对于具有不连续性的周期信号，如果通过添加傅里叶级数来重建信号，则在边缘周围会出现过冲。这些过冲以阻尼振荡的方式从边缘向外衰减。这被称为吉布斯现象，如下图所示。

不连续处过冲的幅度与不连续的高度成正比，根据吉布斯，无论傅里叶级数中项数多少，它都约为不连续高度的9%。确切的比例由威尔布拉姆-吉布斯常数给出。

$$\mathrm{\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{sin\:t}{t}dt-\frac{1}{2}= 0.089489 …}$$

还可以注意到，随着级数中添加的项数增加，频率增加，过冲变得更尖锐，但相邻振荡的幅度减小，即，随着n的增加，原始信号$x(t)$和截断信号$x_{n} (t)$之间的误差减小，除了边缘。因此，随着近似中项数的增加，截断的傅里叶级数逼近原始信号$x(t)$。

吉布斯现象的影响

以下是吉布斯现象的一些后果：

• 在信号处理中，吉布斯现象是不希望的，因为它会导致过冲的削波和振荡的振铃伪影。

• 在核磁共振成像 (MRI) 中，吉布斯现象会导致相邻区域具有显著不同信号强度时出现伪影。

• 吉布斯现象在图像的离散傅里叶变换中表现出交叉图案伪影，其中图像在图像的顶部、底部和左侧、右侧边界之间具有更尖锐的不连续性。

Manish Kumar Saini

更新于：2021年12月2日

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