三角傅里叶级数系数表达式

频率为$0,\omega_{0},2\omega_{0},3\omega_{0},....k\omega_{0}$的正弦和余弦项的无穷级数称为三角傅里叶级数，可以写成：

$$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\omega_{0} t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0} t… (1)}$$

这里，常数$a_{0},a_{n}$和$b_{n}$称为三角傅里叶级数系数。

a₀的计算

为了计算系数$a_{0}$，我们将对公式(1)的两边在一个周期内积分，即：

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt=a_{0}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}dt+\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}\left(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\omega_{0} t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0} t\right)dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt=a_{0}T+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos\:n\omega_{0} t\:dt+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin\:n\omega_{0} t\:dt… (2)}$$

我们知道，对于任何非零整数n和任何时间$t_{0}$，正弦曲线在一个完整周期内的净面积为零。因此，

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos\:n\omega_{0} t\:dt=0\:\:and\:\:\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin\:n\omega_{0} t\:dt=0}$$

因此，从公式(2)中，我们得到：

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt=a_{0}T}$$

$$\mathrm{\therefore\:a_{0}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt… (3)}$$

使用公式(3)，我们可以得到傅里叶系数$a_{0}$的值。

a_n的计算

为了计算傅里叶系数$a_{n}$，将公式(1)的两边乘以$cos\:m\omega_{0}t\:dt$，然后在一个周期内积分，即：

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:cos\:m\omega_{0}t\:dt}$$

$$\mathrm{=a_{0}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos\:m\omega_{0}t\:dt+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos(n\omega_{0} t)\:cos(m\omega_{0} t)dt+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin(n\omega_{0} t)\:cos(m\omega_{0} t)dt… (4)}$$

当m = n时，公式(4)中的第一项和第三项积分等于零，第二项积分等于$\left(\frac{T}{2} \right)$。因此，

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:cos\:m\omega_{0} t\:dt=a_{m}\left(\frac{T}{2} \right)}$$

因为m = n，

$$\mathrm{\therefore\:a_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:cos\:n\omega_{0} t\:dt… (5)}$$

b_n的计算

为了计算傅里叶系数$b_{n}$，将公式(1)的两边乘以$sin\:m\omega_{0} t$，然后在一个周期内积分，即：

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:sin\:m\omega_{0}t\:dt}$$

$$\mathrm{=a_{0}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin\:m\omega_{0}t\:dt+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos(n\omega_{0} t)\:sin(m\omega_{0} t)dt+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin(n\omega_{0} t)\:sin(m\omega_{0} t)dt… (6)}$$

当m = n时，公式(6)中的第一项和第二项积分等于零，第三项积分等于$\left(\frac{T}{2} \right)$。因此，

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:sin\:m\omega_{0} t\:dt=b_{m}\left(\frac{T}{2}\right)}$$

因为m = n，

$$\mathrm{\therefore\:b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:sin\:n\omega_{0} t\:dt… (7)}$$

Saini Manish Kumar

更新于：2021年12月8日

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