数学逻辑术语和定义

重言式

重言式是指对于其命题变量的每个值都始终为真的公式。

示例 − 证明 [ (A → B) ∧ A ] → B 是一个重言式

真值表如下所示 −

我们可以看到 [ (A → B) ∧ A ] → B 的每个值都为“真”，因此它是一个重言式。

矛盾式

矛盾式是指对于其命题变量的每个值都始终为假的公式。

示例 − 证明 (A ∨ B) ∧ [ ( ¬ A) ∧ (¬ B) ] 是一个矛盾式

真值表如下所示 −

我们可以看到 (A ∨ B) ∧ [ ( ¬ A) ∧ (¬ B) ] 的每个值都为“假”，因此它是一个矛盾式。

偶然式

偶然式是指对于其命题变量的每个值都既有一些真值也有一些假值的公式。

示例 − 证明 (A ∨ B) ∧ (¬ A) 是一个偶然式

真值表如下所示 −

我们可以看到 (A ∨ B) ∧ (¬ A) 既有“真”值也有“假”值，因此它是一个偶然式。

命题等价

如果满足以下两个条件之一，则两个语句 X 和 Y 在逻辑上是等价的 −

• 每个语句的真值表具有相同的真值。

• 双条件语句 X ⇔ Y 是一个重言式。

示例 − 证明 ¬ (A ∨ B) 和 [ (¬ A) ∧ (¬ B) ] 是等价的

使用第一种方法测试（匹配真值表）

在这里，我们可以看到 ¬ (A ∨ B) 和 [ (¬ A) ∧ (¬ B) ] 的真值相同，因此这些语句是等价的。

使用第二种方法测试（双条件性）

由于 [ ¬ (A ∨ B) ] ⇔ [ (¬ A ) ∧ (¬ B) ] 是一个重言式，因此这些语句是等价的。

逆命题、否命题和逆否命题

蕴涵/如果-则 (→) 也称为条件语句。它有两个部分 −

• 假设，p
• 结论，q

如前所述，它表示为 p → q。

条件语句示例 − “如果你做作业，你就不会受到惩罚。” 这里，“你做作业”是假设 p，“你不会受到惩罚”是结论 q。

逆命题 − 条件语句的逆命题是对假设和结论都进行否定。如果语句是“如果 p，则 q”，则逆命题将是“如果非 p，则非 q”。因此，p → q 的逆命题是 ¬ p → ¬ q。

示例 − “如果你做作业，你就不会受到惩罚”的逆命题是“如果你不做作业，你就会受到惩罚”。

否命题 − 条件语句的否命题是通过交换假设和结论来计算的。如果语句是“如果 p，则 q”，则否命题将是“如果 q，则 p”。p → q 的否命题是 q → p。

示例 − “如果你做作业，你就不会受到惩罚”的否命题是“如果你不会受到惩罚，你就会做作业”。

逆否命题 − 条件语句的逆否命题是通过交换逆命题的假设和结论来计算的。如果语句是“如果 p，则 q”，则逆否命题将是“如果非 q，则非 p”。p → q 的逆否命题是 ¬ q → ¬ p。

示例 − “如果你做作业，你就不会受到惩罚”的逆否命题是“如果你受到惩罚，你就没有做作业”。

对偶原理

对偶原理指出，对于任何真语句，通过将并集交换为交集（反之亦然）并将全集交换为空集（反之亦然）而获得的对偶语句也为真。如果任何语句的对偶是语句本身，则称其为自对偶语句。

示例 − (A ∩ B ) ∪ C 的对偶是 (A ∪ B) ∩ C

范式

我们可以将任何命题转换为两种范式 −

• 合取范式
• 析取范式

合取范式

如果一个复合语句是通过对用或连接的变量（包括变量的否定）进行与运算而获得的，则该复合语句处于合取范式。就集合运算而言，它是通过对用并集连接的变量进行交集而获得的复合语句。

示例

• (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) ∧ (B ∨ C ∨ D)

• (P ∪ Q) ∩ (Q ∪ R)

析取范式

如果一个复合语句是通过对用与连接的变量（包括变量的否定）进行或运算而获得的，则该复合语句处于析取范式。就集合运算而言，它是通过对用交集连接的变量进行并集而获得的复合语句。

示例

• (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C ∧ D)

• (P ∩ Q) ∪ (Q ∩ R)

Mahesh Parahar

更新于: 2019年8月23日

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