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法律研究顶点度数总和为 L 的树的数量
给定度数总和 L 的树的数量可以通过基于图论的假设的方程来确定。首先，我们注意到具有 N 个顶点的树的度数总和始终为 2N-2。利用这一点，我们可以计算树中的叶子数，即 L 减去 2。另一种方法是从总顶点数中减去叶子数来确定内部顶点数。最后，我们能够通过使用组合方程来发现将剩余度数分配给内部顶点的数量。因此，具有度数总和 L 的树的数量可以使用这些步骤计算。
使用的方法
递归枚举
组合分析
递归枚举
递归计数是一种确定给定度数总和 L 的树的数量的策略。从单个顶点开始，我们系统地添加新的顶点和边以构建树。在每个步骤中，我们在保持指定总和的同时，将剩余的度数分配给现有的顶点。此过程递归地重复，探索所有可能的组合。通过回溯并考虑不同的度数，我们可以确定有效树的数量。这种方法对于较小的输入规模很有用，但由于其指数时间复杂度，对于较大的 L 值可能会变得低效。
算法
定义一个名为 countTrees(L, vertexCount) 的递归函数，其中 L 是所需的度数总和，vertexCount 表示树中的顶点数。
基本情况。
如果 L 等于 2 且 vertexCount 等于 1，则返回 1（因为单个顶点可以是有效的树）。将变量 treeCount 初始化为 0。
迭代当前顶点的可能度数，从 1 到 L-1。
在循环内。
从 L 中减去当前度数，并使用更新的 L 和 vertexCount-1 递归调用 countTrees。将返回值加到 treeCount 中。返回 treeCount。
使用所需的 L 和初始顶点数（根据规则 1）调用 countTrees 函数，以获取具有给定度数总和的树的数量。
示例
#include <iostream>
int countTrees(int L, int vertexCount) {
if (L == 2 && vertexCount == 1) {
return 1;
}
int treeCount = 0;
for (int degree = 1; degree <= L - 1; degree++) {
int remainingSum = L - degree;
int subTreeCount = countTrees(remainingSum, vertexCount - 1);
treeCount += subTreeCount;
}
return treeCount;
}
int main() {
int L = 8;
int vertexCount = 4;
int numTrees = countTrees(L, vertexCount);
std::cout << "Number of trees with sum of degrees " << L << " and " << vertexCount << " vertices: " << numTrees << std::endl;
return 0;
}
输出
Number of trees with sum of degrees 8 and 4 vertices: 10
组合分析
在确定给定度数总和 L 的树的数量的上下文中，组合分析包括考虑树的结构并使用组合方法对其进行计数。它涉及分析由度数总和强加的约束条件，确定内部顶点数和叶子数，并将剩余的度数分配给它们。通过使用组合、排列和递推关系等概念，组合分析允许开发方程或公式来精确计算特定度数总和 L 的树的数量。这种方法利用数学原理来有效地解决问题。
算法
将变量 count_trees 初始化为 0。
迭代可能的叶子数 i，从 1 到 L-2。
计算内部顶点数 internal_vertices，为 L - i。
使用组合方法将剩余的度数分配给内部顶点。您可以使用递归方法或动态规划来计算此分配。
将 count_trees 增加分配度数到内部顶点的方法数量和选择叶子的方法数量的乘积。
返回 count_trees 作为结果。
示例
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
int countTrees(int L) {
int count_trees = 0;
for (int i = 1; i <= L - 2; i++) {
int internal_vertices = L - i;
// Calculate the number of ways to distribute degrees among internal vertices
std::vector<int> degrees(internal_vertices - 2, 1);
degrees.push_back(2);
do {
// Calculate the number of ways to select the leaves
int leaf_selection = std::count_if(degrees.begin(), degrees.end(), [](int x) {
return x == 1;
});
count_trees += leaf_selection;
} while (std::next_permutation(degrees.begin(), degrees.end()));
}
return count_trees;
}
int main() {
int L = 10; // Assuming L = 10
int result = countTrees(L);
std::cout << "Number of trees: " << result << std::endl;
return 0;
}
输出
Number of trees: 168
结论
本文探讨了两种确定图中具有特定度数总和的树的数量的策略。第一种策略，递归枚举，包括有效地添加顶点和边以构建树，同时分配剩余的度数。第二种策略，组合分析，利用数学原理和组合方法通过将度数分配给顶点来计算树的数量。这两种方法都提供了有效的方法来解决问题，并且在不同的场景中都是相关的。
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