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纵坐标


简介

纵坐标是有序对 (x, y) 中的第二个分量。数学有两个主要分支,包括代数和几何。两者都有各自的用途和应用。然而,法国数学家勒内·笛卡尔通过代数和几何的结合推导出了一个概念。这个概念帮助我们表达坐标系中任何物体、点或线的的位置。然而,坐标系中包含各种主题。在本教程中,我们将学习坐标系、笛卡尔平面、其组成部分(纵坐标和横坐标)以及一些带有已解决示例的基本公式。

坐标系

在欧几里得空间中,可以在坐标系上指定任何点的方位。数学中常用的坐标系有四种类型。

  • 数轴 − 数轴是一条直线,零右侧包含正整数,零左侧包含负整数。

  • 笛卡尔平面 − 笛卡尔平面包含两条带有整数刻度的垂直线段。

  • 极坐标系 − 在这种类型的坐标系中,点表示为 (𝑟, 𝜃) 的形式。

  • 圆柱坐标系和球坐标系 − 在这种类型的坐标系中,点的极坐标表示为 (𝑟, 𝜃, 𝜙) 的形式。

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笛卡尔平面

笛卡尔平面包含两条带有整数刻度的垂直线段。任何点都可以用成对的坐标表示,例如 (x, y)。x 表示 X 轴坐标,y 表示 Y 轴坐标。笛卡尔平面的示意图如下所示。

坐标平面中有三个组成部分。

  • − 水平和垂直轴分别称为 X 轴和 Y 轴。

  • 原点 − 平面两条轴相交的点称为原点。原点的坐标为 (0, 0)。

  • 象限 − 笛卡尔平面上有四个象限,如下图所示

纵坐标

我们知道,任何点都可以用成对的坐标表示,例如 (x, y)。坐标的第二项或分量称为纵坐标。换句话说,点的 Y 轴坐标被称为该点的纵坐标。例如,一个点的坐标是 (6, -4)。该点的纵坐标为 -4。象限决定了点纵坐标的符号。

  • 第一象限,y > 0

  • 第二象限,y > 0

  • 第三象限,y < 0

  • 第四象限,y < 0

横坐标

坐标的第一项或分量称为横坐标。换句话说,点的 X 轴坐标被称为该点的横坐标。例如,一个点的坐标是 (4, -5)。该点的横坐标为 4。象限决定了点横坐标的符号。

  • 第一象限,x > 0

  • 第二象限,x < 0

  • 第三象限,x < 0

  • 第四象限,x > 0

距离公式

线段的长度也可以使用距离公式计算。在笛卡尔几何中,一个点表示为 (x, y)(其中 x = X 轴值,y = Y 轴值)。线段两个端点的坐标可以表示为 A(𝑥1, 𝑦1) 和 B(𝑥2, 𝑦2)。然后,根据距离公式,可以使用以下表达式获得线段的长度。

¯AB=(x2x1)2+(y2y1)2

分割公式

我们知道,通常使用点将线段分成两部分。因此,在坐标几何中确定分割点的位置称为分割公式。坐标几何中存在两种类型的分割公式,例如:

  • 内分割公式

  • 外分割公式

现在,我们将详细讨论每个分割公式。

内分割公式

例如,考虑一条线段,其端点的坐标为 𝑃(𝑥1, 𝑦1) 和 𝑄(𝑥2, 𝑦2)。点 𝑅(𝑥3, 𝑦3) 在线段上被内分割,比例为 m:n(如图所示)。现在,可以使用以下公式确定点 𝑅(𝑥3, 𝑦3) 的坐标。

R(x3,y3)=(mx2+nx1m+n,my2+ny1m+n)

外分割公式

例如,考虑一条线段,其端点的坐标为 𝑃(𝑥1, 𝑦1) 和 𝑄(𝑥2, 𝑦2)。点 𝑅(𝑥3, 𝑦3) 在线段上被外分割,比例为 m:n(如图所示)。现在,可以使用以下公式确定点 𝑅(𝑥3, 𝑦3) 的坐标。

R(x3,y3)=(mx2nx1mn,my2ny1mn)

面积公式

下面列出了确定各种几何结构面积的公式。

序号 几何图形 面积公式 变量
1 正方形 a×a=a2 a = 正方形的边长
2 矩形 l×b l = 长度 b = 宽度
3 圆形 π×r2 r = 圆的半径
4 三角形 12×b×h b = 三角形的底 h = 三角形的高
5 梯形 12×(a+b)×h a = 底边长度 (1) b = 底边长度 (2) h = 高度
6 椭圆 π×a×b a = 长轴半径 b = 短轴半径

已解决示例

1)线段端点的笛卡尔坐标为 A (0, -4) 和 B(3, 6)。计算 𝑨𝑩 的长度。

答案 - 给定端点的坐标为 A (0, -4) 和 B(3, 6)。

根据距离公式,线段的长度将为

¯AB=(x2x1)2+(y2y1)2

这里,x1=0,x2=3,y1=4,y2=6

现在,¯AB=(30)2+(6(4))2

¯AB=(3)2+(10)2

¯AB=10910.44cm

∴ 线段的长度为 10.44 厘米

2)线段端点的坐标为 (-10, 5) 和 (7, -3)。x 轴上的一点以 m:n 的比例外分割线段。求 m:n 的值

答案 - 给定,

线段端点的坐标 = (-10, 5) 和 (7, 3)

与标准坐标比较,x1=10,x2=7,y2=3

外部分割比例 = m:n

由于该点位于 x 轴上,因此该点的 y 坐标为 0。

使用外分割公式,

R(x3,y3)=(mx2nx1mn,my2ny1mn)

R(x3,0)=(m×7n×(10)mn,m×(3)n×5mn)

R(x3,0)=7m+10nmn,3m5nmn

现在,比较两边的 y 坐标,我们得到

3m5nmn=0

3m5n=0×(m×n)=0

3m=5n

mn=53

∴给定点以 5:3 的比例外分割线段。

结论

本教程简要介绍了坐标系及其各种组成部分。本教程阐述了坐标系、笛卡尔平面、纵坐标和横坐标的基本定义。此外,还说明了确定两点之间距离、分割公式和面积公式的过程。此外,还提供了一些已解决示例,以便更好地理解此概念。总之,本教程可能有助于理解纵坐标和坐标系的基本概念。

常见问题

1. 确定给定点的象限:(7, -9)。

由于x坐标为正,y坐标为负,因此该点位于第四象限。

2. 原点的坐标是什么?

在笛卡尔平面中,原点的坐标为 (0, 0)。

3. 在坐标系中绘制点时,应先往哪个方向移动?

在笛卡尔平面上定位点时,我们应该先定位x坐标。然后,我们定位y坐标。

4. 我们能使用截距公式确定线段的长度吗?

不能,我们必须应用距离公式来确定线段的长度。

5. 在截距公式中,比例m:n可以为负值吗?

可以。在外分时,比例m:n为负值。

更新于:2024年3月18日

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