解释斯涅尔定律的推导。

斯涅尔定律

斯涅尔定律，也称为折射定律或斯涅尔-笛卡尔定律。它被定义为“入射角的正弦与折射角的正弦之比对于给定的两介质对是一个常数”。

公式表示为

$\frac{\sin\ i}{\sin\ r}=\mu =常数\phantom{\rule{0ex}{0ex}}$ =折射率

其中，i = 入射角，

r = 折射角，以及

$(\mu)$ = 常数值，称为第二介质相对于第一介质的折射率。

因此，它也可以表示为 -

$\frac{Sin{\theta }_{1}}{Sin{\theta }_{2}}=\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}}\ 或 \frac{Sin{\theta }_{1}}{Sin{\theta }_{2}}=\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$

${n}_{1}\ 和\ {n}_{2}=两个不同介质的折射率$

$\theta_{ 1} =入射角$

$\theta_{ 2} =折射角$

${v}_{1}\ 和\ {v}_{2}=两个不同介质的相速度$

基本上，斯涅尔定律公式是从费马原理推导出来的。

费马原理指出“光沿最短路径传播，并且传播时间最短”。

现在我们考虑一条光线从点P传播到点Q，穿过具有不同折射率的介质，如图所示。在两点之间传播的时间是在每种介质中的距离除以相速度（该介质中光速）。

两种介质中的相速度表示为 -

${v}_{1}=\frac{c}{{n}_{1}}\ 和\ {v}_{2}=\frac{c}{{n}_{2}}$

这里，'c' 表示光在真空中的速度。

${v}_{1}\ 和\ {v}_{2}=两个不同介质的相速度$

${n}_{1}\ 和\ {n}_{2}=两个不同介质的折射率$

假设 T 是光从 P 通过点 O 到 Q 的传播时间。

$T=[\frac{(\sqrt[]{{a}^{2}+{x}^{2}})}{{v}_{1}}]+[\frac{(\sqrt[]{{b}^{2}+(l-x{)}^{2}})}{{v}_{2}}]$

$T=[\frac{(\sqrt[]{{a}^{2}+{x}^{2}})}{{v}_{1}}]+[\frac{(\sqrt[]{{b}^{2}+{l}^{2}-2lx+{x}^{2}})}{{v}_{2}}]$

其中 $a$ 、 $b$ 、 $l$ 和 $x$ 如下图所示， $x$ 是变化参数。

为了使时间最小化，我们将时间相对于 $x$ 的导数设置为

零。我们还使用正弦的定义（对边/斜边）来

将长度与入射角和反射角相关联。

$\frac{dT}{dx}=\frac{x}{{v}_{1}\sqrt{{x}^{2}+{a}^{2}}}+\frac{-(l-x)}{{v}_{2}\sqrt{(l-x{)}^{2}+{b}^{2}}}=0$ （驻点）

注意， $\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{a}^{2}}}=sin{\theta }_{1}$ 和 $\frac{x}{\sqrt{(l-x{)}^{2}+{b}^{2}}}=sin{\theta }_{2}$

$\frac{dT}{dx}=\frac{\sin{\theta }_{1}}{{v}_{1}}-\frac{\sin{\theta }_{2}}{{v}_{2}}=0$

$\frac{\sin{\theta }_{1}}{{v}_{1}}=\frac{\sin{\theta }_{2}}{{v}_{2}}$

通过代入相速度方程，我们得到 -

$\frac{{n}_{1}\sin{\theta }_{1}}{c}=\frac{{n}_{2}\sin{\theta }_{2}}{c}$ [ $\because{v}_{1}=\frac{c}{{n}_{1}}\ 和\ {v}_{2}=\frac{c}{{n}_{2}}$ ]

${n}_{1}\sin{\theta }_{1}={n}_{2}\sin{\theta }_{2}$ .............. 这是最终推导出的斯涅尔定律方程。

注意：- 使用微积分来推导斯涅尔定律。（不在 10 年级课程大纲中）

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更新于： 2022 年 10 月 10 日

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