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法律研究权重>=1的边乘积最小的路径
为了找到权重大于或等于1的边乘积最小的路径，我们可以使用迪克斯特拉算法并进行一些修改。首先，我们将源节点的权重设置为1，其他所有节点的权重设置为无穷大。在算法执行过程中，我们不是用权重的和来更新距离，而是用权重的乘积来更新。这确保了选择权重乘积最小的路径。通过在每一步中选择权重乘积最小的节点，我们迭代地找到最短路径，直到到达目标节点。最后，这条路径上权重的乘积将是最小的，满足给定条件。
使用的方法
带权重乘积的改进迪克斯特拉算法
带权重乘积的改进贝尔曼-福特算法
带权重乘积的改进迪克斯特拉算法
在带权重乘积的改进迪克斯特拉算法中，我们首先将源节点的权重设置为1，并将所有其他节点的权重设置为无穷大。在算法执行过程中，我们不是用权重的和来更新距离，而是用迄今为止遇到的权重的乘积来更新它们。在每一步中，我们选择权重乘积最小的节点，并以相同的方式更新其相邻节点的权重。这个过程持续进行，直到我们到达目标节点。最后，这条路径上权重的乘积将表示最小的可能值，满足权重大于或等于1的条件。
算法
将所有节点的权重初始化为无穷大，除了源节点，将其设置为0。
创建一个已访问节点集来跟踪已访问的节点。
当存在未访问节点时，
在未访问节点中选择权重乘积最小的节点。
将选定的节点标记为已访问。
对于每个尚未访问的相邻节点
-
计算当前节点的权重和连接它们的边的权重。
如果计算出的乘积小于相邻节点的权重，则用计算出的乘积替换其权重。
重复步骤3，直到目标节点被访问或所有节点都被访问。
目标节点的权重表示从源节点到目标节点的路径上权重乘积的最小值。
示例
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// Function to return the smallest product of edges
double modifiedDijkstra(int source, int destination, vector<vector<pair<int, double> > > graph)
{
// If the source is equal to the destination
if (source == destination)
return 0;
// Initialize the priority queue
set<pair<double, int>> pq;
pq.insert({1, source});
// Visited array
bool visited[graph.size()] = {0};
// While the priority queue is not empty
while (!pq.empty())
{
// Current node
int current = pq.begin()->second;
// Current product of weights
double product = pq.begin()->first;
// Pop the top-most element
pq.erase(pq.begin());
// If already visited, continue
if (visited[current])
continue;
// Mark the node as visited
visited[current] = true;
// If it is a destination node
if (current == destination)
return product;
// Traverse the neighbors of the current node
for (auto neighbor : graph[current])
{
int neighborNode = neighbor.first;
double weight = neighbor.second;
// Calculate the product of weights
double newProduct = product * weight;
// Insert the new product and neighbor into the priority queue
pq.insert({newProduct, neighborNode});
}
}
// If no path exists
return -1;
}
// Function to add an edge to the graph
void addEdge(vector<vector<pair<int, double>>>& graph, int u, int v, double weight)
{
graph[u].push_back({v, weight});
}
// Function to print the graph
void printGraph(const vector<vector<pair<int, double>>>& graph)
{
for (int i = 1; i < graph.size(); i++)
{
cout << "Node " << i << ": ";
for (auto neighbor : graph[i])
{
cout << "(" << neighbor.first << ", " << neighbor.second << ") ";
}
cout << endl;
}
}
// Driver code
int main()
{
int numNodes = 3;
// Graph as adjacency list
vector<vector<pair<int, double>>> graph(numNodes + 1);
// Input edges
addEdge(graph, 1, 3, 9);
addEdge(graph, 2, 3, 1);
addEdge(graph, 1, 2, 5);
// Source and destination
int source = 1, destination = 3;
// Modified Dijkstra
double smallestProduct = modifiedDijkstra(source, destination, graph);
// Print the result
cout << "Smallest product of weights: " << smallestProduct << endl;
// Print the graph
cout << "Graph: " << endl;
printGraph(graph);
return 0;
}
输出
Smallest product of weights: 5 Graph: Node 1: (3, 9) (2, 5) Node 2: (3, 1) Node 3:
带权重乘积的改进贝尔曼-福特算法
在带权重乘积的改进贝尔曼-福特算法中，我们首先将源节点的权重设置为1，并将所有其他节点的权重设置为无穷大。在每个循环中，我们通过计算当前节点的权重和连接它们的边的权重来松弛所有边。如果计算出的乘积小于目标节点的权重，则用计算出的乘积更新其权重。重复此过程V-1次，其中V是节点总数，以确保考虑所有可能的路径。目标节点的权重表示从源节点到目标节点的路径上权重乘积的最小值。
算法
除了源节点，所有其他节点的权重都应为无穷大。
重复以下步骤V-1次，其中V是节点总数
-
对于图中的每条边，计算当前节点的权重和连接它们的边的权重的乘积。
如果计算出的乘积小于目标节点的权重，则用计算出的乘积更新其权重。
经过V-1次循环后，所有节点的权重将被最终确定。
在算法过程中，如果图中存在负权环，则会识别出一个额外的循环。如果在此迭代中更新了任何权重，则表示存在负权环。
目标节点的权重表示从源节点到目标节点的路径上权重乘积的最小值。
贪婪着色算法基于可用颜色和相邻顶点使用的颜色，以贪婪的方式为顶点分配颜色。虽然它可能不会始终给出图所需的最小颜色数，但它提供了一种快速有效的方法来进行顶点着色。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits>
struct Edge {
int source, destination;
double weight;
};
// Function to find the smallest product of weights using the modified Bellman-Ford algorithm
double findSmallestProduct(int numNodes, int source, int destination, std::vector<Edge>& edges) {
std::vector<double> weights(numNodes, std::numeric_limits<double>::infinity());
weights[source] = 1;
for (int i = 1; i < numNodes; i++) {
for (const auto& edge : edges) {
double newWeight = weights[edge.source] * edge.weight;
if (newWeight < weights[edge.destination]) {
weights[edge.destination] = newWeight;
}
}
}
for (const auto& edge : edges) {
double newWeight = weights[edge.source] * edge.weight;
if (newWeight < weights[edge.destination]) {
return -1.0; // Negative-weight cycle detected
}
}
return weights[destination];
}
int main() {
int numNodes = 4;
std::vector<Edge> edges = {
{0, 1, 2.0},
{1, 2, 0.5},
{2, 3, 1.5},
{0, 3, 1.2},
{1, 3, 0.8}
};
int source = 0, destination = 3;
double smallestProduct = findSmallestProduct(numNodes, source, destination, edges);
if (smallestProduct < std::numeric_limits<double>::infinity()) {
std::cout << "The smallest product of weights along the path from node " << source
<< " to node " << destination << " is: " << smallestProduct << std::endl;
} else {
std::cout << "A negative-weight cycle is detected. No valid path exists." << std::endl;
}
return 0;
}
输出
The smallest product of weights along the path from node 0 to node 3 is: 1.2
结论
本文阐明了如何找到权重大于或等于1的边乘积最小的路径。它介绍了两种算法，改进的迪克斯特拉算法和改进的贝尔曼-福特算法，用于解决此问题。改进的迪克斯特拉算法在每一步中选择权重乘积最小的节点，而改进的贝尔曼-福特算法迭代地松弛边以更新权重。本文提供了两种算法在C语言中的实现，并用测试输入说明了它们的用法。输出显示为从源节点到目标节点的路径上权重乘积的最小值。
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