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法学查找具有交替颜色边的最小生成树
代码执行计算，通过替换彩色边来查找最小生成树。它采用动态规划方法来计算最小成本。该算法考虑所有可能的边和颜色，并根据是否保持交替颜色模式递归地评估添加或删除每条边的成本。它使用记忆化方法跟踪迄今为止遇到的最小成本。该算法通过贪婪地选择成本最低的边来构建最小生成树，确保相邻边具有不同的颜色。最后，它返回构建的最小生成树中的最小成本。
使用的方法
最小成本生成树 (MCST) 方法。
最小成本生成树
最小成本生成树是一种图算法，它找到连接图所有顶点的成本最低的树。它迭代地选择不会形成环路的最低成本边，直到所有顶点都连接起来。该算法维护一组已访问的顶点，并跟踪到达每个顶点的最小成本。它在每一步都贪婪地选择成本最低的边，扩展树直到所有顶点都被包含在内。生成的树在图上所有可能的生成树中具有最低成本。
算法
从一个空树 T 和一组已访问顶点 V 开始。
将每个顶点的最小成本初始化为无穷大，除了起始顶点，其设置为 0。
当 V 不包含所有顶点时，
选择不在 V 中的顶点 u，其具有最小成本。
将 U 添加到 V。
对于 u 的每个相邻顶点 v
如果 v 不在 V 中，并且边 (u, v) 的成本小于 v 的当前最小成本，
用边 (u, v) 的成本更新 v 的最小成本。
将边 (u, v) 添加到 T。
返回树 T，它表示最小成本生成树。
此算法迭代地选择未访问顶点中成本最低的顶点，并通过添加与该顶点关联的最低成本边来扩展树。它继续此过程，直到所有顶点都包含在树中。生成的树在图上所有可能的生成树中将具有最低成本。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
long long calculateMinCost(int numVertices, int mask, int prevVertex, int prevColor, const std::vector<std::vector<std::pair<int, char>>>& graph, std::vector<std::vector<std::vector<long long>>>& dp) {
if (mask == ((1 << numVertices) - 1)) {
return 0;
}
if (dp[mask][prevVertex][prevColor] != -1) {
return dp[mask][prevVertex][prevColor];
}
long long ans = LLONG_MAX;
for (int i = 0; i < numVertices; i++) {
for (const auto& edge : graph[prevVertex]) {
int nextVertex = edge.first;
char nextColor = edge.second;
if (!(mask & (1 << nextVertex)) && (nextColor != prevColor)) {
long long z = calculateMinCost(numVertices, mask | (1 << nextVertex), nextVertex, nextColor, graph, dp);
if (z != LLONG_MAX) {
ans = std::min(ans, z);
}
}
}
}
return dp[mask][prevVertex][prevColor] = ans;
}
void makeGraph(const std::vector<std::pair<std::pair<int, int>, std::pair<int, char>>>& edges, int numVertices, std::vector<std::vector<std::pair<int, char>>>& graph) {
for (const auto& edge : edges) {
int u = edge.first.first - 1;
int v = edge.first.second - 1;
int cost = edge.second.first;
char color = edge.second.second;
graph[u].emplace_back(v, color);
graph[v].emplace_back(u, color);
}
}
int getMinimumCost(int numVertices, const std::vector<std::vector<std::pair<int, char>>>& graph) {
std::vector<std::vector<std::vector<long long>>> dp(1 << numVertices, std::vector<std::vector<long long>>(numVertices, std::vector<long long>(3, -1)));
long long minCostValue = LLONG_MAX;
for (int i = 0; i < numVertices; i++) {
minCostValue = std::min(minCostValue, calculateMinCost(numVertices, 1 << i, i, 'B', graph, dp));
minCostValue = std::min(minCostValue, calculateMinCost(numVertices, 1 << i, i, 'W', graph, dp));
}
if (minCostValue != LLONG_MAX) {
return static_cast<int>(minCostValue);
} else {
return -1;
}
}
int main() {
int numVertices = 3;
std::vector<std::pair<std::pair<int, int>, std::pair<int, char>>> edges = {
{ { 1, 2 }, { 2, 'B' } },
{ { 1, 2 }, { 3, 'W' } },
{ { 2, 3 }, { 4, 'W' } },
{ { 2, 3 }, { 5, 'B' } }
};
std::vector<std::vector<std::pair<int, char>>> graph(numVertices);
makeGraph(edges, numVertices, graph);
std::cout << getMinimumCost(numVertices, graph) << '\n';
return 0;
}
输出
0
结论
本文介绍了一种算法方法，用于在给定图中通过替换彩色边来查找最小生成树 (MST)。该问题包括以相邻边具有不同颜色且所选边的总成本最小化的方式选择边。该算法利用动态规划来计算每种可能的顶点和颜色组合的最小成本，并使用记忆化来避免冗余计算。
代码执行演示了该算法，并为具有彩色边的示例图提供了解决方案。本文还解释了最小成本生成树 (MCST) 的概念及其在图论中的重要性。总的来说，本文作为理解和实现查找具有交替彩色边的最小生成树算法的全面指南。
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