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法律研究带权有向图中恰好k条边的最短路径
在带权有向图中，寻找恰好包含k条边的最短路径的问题，包括在遍历恰好k条边的情况下确定权重最小的路径。这可以通过使用动态规划技术来实现，例如使用三维数组来存储所有可能路径的最小权重。该算法迭代遍历顶点和边，在每一步更新最小权重。通过考虑所有恰好包含k条边的可能路径，该算法确定图中k条边的最短路径。
使用的方法
朴素递归方法
带边约束的Dijkstra算法
朴素递归方法
朴素递归方法是一种基本且易于理解的解决问题的方法，它涉及将复杂问题分解成更小的子问题并递归地解决它们。在这种方法中，一个函数多次调用自身以解决子问题，直到达到基本情况。但是，由于重复计算和重叠子问题，它对于较大的问题实例可能效率低下。它需要诸如记忆化或动态规划之类的优化技术。朴素递归方法易于理解和实现，但可能遭受指数时间复杂度。它通常用于小型问题或作为更优化算法的起点。
算法
定义一个函数 `shortestPath(graph, u, v, k)`，它接收图、源顶点u、目标顶点v和边数k作为输入。
检查基本情况
a. 如果k为0且u等于v，则返回0（因为在这种情况下不允许边）。
b. 如果k为1且图中u和v之间存在边，则返回其权重。
c. 如果k小于或等于0，则返回无穷大（因为不允许负数或零条边）。
初始化一个变量res为无穷大，以存储最短路径距离。
迭代遍历图中的所有顶点，如下所示
a. 如果从u到i存在边（u和i不相等且i不等于v）
递归调用shortestPath，其中i作为新的源顶点，v作为目标顶点，k-1作为剩余的边数。
如果返回的结果不是无穷大，则将res更新为res和当前边权重与递归结果之和的最小值。
返回res的值作为恰好具有k条边的最短路径距离。
示例
#include <iostream>
#include <climits>
#define V 4
#define INF INT_MAX
int shortestPathWithKEdges(int graph[][V], int source, int destination, int k) {
// Base cases
if (k == 0 && source == destination)
return 0;
if (k == 1 && graph[source][destination] != INF)
return graph[source][destination];
if (k <= 0)
return INF;
// Initialize result
int shortestPathDistance = INF;
// Explore all adjacent vertices of the source vertex
for (int i = 0; i < V; i++) {
if (graph[source][i] != INF && source != i && destination != i) {
int recursiveDistance = shortestPathWithKEdges(graph, i, destination, k - 1);
if (recursiveDistance != INF)
shortestPathDistance = std::min(shortestPathDistance, graph[source][i] + recursiveDistance);
}
}
return shortestPathDistance;
}
int main() {
int graph[V][V] = {
{0, 10, 3, 2},
{INF, 0, INF, 7},
{INF, INF, 0, 6},
{INF, INF, INF, 0}
};
int source = 0, destination = 3, k = 2;
std::cout << "Weight of the shortest path is " << shortestPathWithKEdges(graph, source, destination, k) << std::endl;
return 0;
}
输出
Weight of the shortest path is 9
带边约束的Dijkstra算法
带边约束的Dijkstra算法是一种图遍历算法，它查找图中源顶点到所有其他顶点之间的最短路径。它考虑图中边的约束或限制，例如最大或最小边权重。该算法维护一个优先队列来存储顶点及其距离，并迭代地选择具有最小距离的顶点。然后，它通过更新其相邻顶点的距离（如果找到更短的路径）来松弛相邻顶点。这个过程持续到访问所有顶点为止。带边约束的Dijkstra算法确保所选路径满足所需的边约束，同时找到最短路径。
算法
创建一个带有以下参数的Dijkstra函数：
图：带有顶点和边的输入图
源：最短路径的起始顶点
约束：边的约束或限制
初始化一个空集合来存储已访问的顶点和一个优先队列来存储顶点及其距离。
创建一个距离数组，并将所有顶点的距离设置为无穷大，除了源顶点，其距离设置为0。
将源顶点及其距离入队到优先队列。
当优先队列不为空时，执行以下操作：
从优先队列中出队具有最小距离的顶点。
如果该顶点尚未访问，
将其标记为已访问。
对于当前顶点的每个相邻顶点
应用边约束以确定是否可以考虑该边。
计算从源顶点到相邻顶点的新的距离，考虑边权重和约束。
如果新的距离小于当前距离，则更新距离数组。
将相邻顶点及其新的距离入队到优先队列。
访问所有顶点后，距离数组将包含从源顶点到满足边约束的每个顶点的最短距离。
返回距离数组作为结果。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits>
struct Edge {
int destination;
int weight;
};
void dijkstra(const std::vector<std::vector<Edge>>& graph, int source, std::vector<int>& distance) {
int numVertices = graph.size();
std::vector<bool> visited(numVertices, false);
distance.resize(numVertices, std::numeric_limits<int>::max());
distance[source] = 0;
for (int i = 0; i < numVertices - 1; ++i) {
int minDistance = std::numeric_limits<int>::max();
int minVertex = -1;
for (int v = 0; v < numVertices; ++v) {
if (!visited[v] && distance[v] < minDistance) {
minDistance = distance[v];
minVertex = v;
}
}
if (minVertex == -1)
break;
visited[minVertex] = true;
for (const auto& edge : graph[minVertex]) {
int destination = edge.destination;
int weight = edge.weight;
if (!visited[destination] && distance[minVertex] != std::numeric_limits<int>::max() &&
distance[minVertex] + weight < distance[destination]) {
distance[destination] = distance[minVertex] + weight;
}
}
}
}
int main() {
int numVertices = 4;
int source = 0;
std::vector<std::vector<Edge>> graph(numVertices);
// Add edges to the graph (destination, weight)
graph[0] = {{1, 10}, {2, 3}};
graph[1] = {{2, 1}, {3, 7}};
graph[2] = {{3, 6}};
std::vector<int> distance;
dijkstra(graph, source, distance);
// Print the shortest distances from the source vertex
std::cout << "Shortest distances from vertex " << source << ":\n";
for (int i = 0; i < numVertices; ++i) {
std::cout << "Vertex " << i << ": " << distance[i] << '\n';
}
return 0;
}
输出
Shortest distances from vertex 0: Vertex 0: 0 Vertex 1: 10 Vertex 2: 3 Vertex 3: 9
结论
本文概述了两种用于解决带权有向图中关键问题的算法。它解释了朴素递归方法和带边约束的Dijkstra算法。朴素递归方法涉及递归地探索所有恰好具有k条边的可能路径以找到最短路径。带边约束的Dijkstra算法使用优先队列和距离更新来有效地找到从源顶点到图中所有其他顶点的最短路径。本文包含对算法的详细解释，并提供示例代码来说明它们的用法。
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