双向加权图中给定节点之间的最短距离（移除任意K条边）

---

介绍

此 C 程序计算在双向加权图中两个给定节点之间最小的距离，方法是移除任意 K 条边。它使用 Dijkstra 算法的修改版本，将移除 K 条边的限制考虑在内。程序使用优先队列进行有效的节点选择，并根据移除限制动态调整边权重。通过遍历图并找到最短路径，它在考虑移除 K 条边的同时，给出了给定节点之间的最小距离。

方法 1：修改后的 Dijkstra 算法

算法

步骤 1：创建结构体以存储节点及其到源节点的距离。

步骤 2：将所有节点的距离初始化为无穷大，但源节点设置为 0。

步骤 3：将源节点及其距离入队到优先队列中。

步骤 4：重复执行以下步骤，直到优先队列为空

a. 从优先队列中出队距离最小的节点。

b. 对于出队节点的每个相邻节点，计算剩余距离（包括边权重），并检查是否小于当前距离。

c. 如果剩余距离较小，则更新距离并将节点入队到优先队列中。

d. 跟踪每个节点移除的边数。

步骤 5：在考虑移除 K 条边后，返回源节点和目标节点之间的最小距离。

示例

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#include <limits.h>

#define MAX_NODES 100

typedef struct {
   int node;
   int distance;
   int removedEdges;
} Vertex;

typedef struct {
   int node;
   int weight;
} Edge;

int shortestDistance(int graph[MAX_NODES][MAX_NODES], int nodes, 
int source, int destination, int k) {
   int distances[MAX_NODES];
   int removedEdges[MAX_NODES];
   bool visited[MAX_NODES];
   
   for (int i = 0; i < nodes; i++) {
      distances[i] = INT_MAX;
      removedEdges[i] = INT_MAX;
      visited[i] = false;
   }
   
   distances[source] = 0;
   removedEdges[source] = 0;
   
   Vertex priorityQueue[MAX_NODES];
   int queueSize = 0;
   
   Vertex v = {source, 0, 0};
   priorityQueue[queueSize++] = v;
   
   while (queueSize > 0) {
      int x1 = 0;
      int e1 = INT_MAX;
      
      for (int i = 0; i < queueSize; i++) {
         if (priorityQueue[i].distance < e1) {
            e1 = priorityQueue[i].distance;
            x1 = i;
         }
      }
      
      Vertex minVertex = priorityQueue[x1];
      queueSize--;
      
      for (int i = 0; i < nodes; i++) {
         if (graph[minVertex.node][i] != 0) {
            int newDistance = distances[minVertex.node] + graph[minVertex.node][i];
            int newRemovedEdges = minVertex.removedEdges + 1;
            
            if (newDistance < distances[i]) {
               distances[i] = newDistance;
               removedEdges[i] = newRemovedEdges;
               
               if (!visited[i]) {
                  Vertex adjacentVertex = {i, newDistance, newRemovedEdges};
                  priorityQueue[queueSize++] = adjacentVertex;
                  visited[i] = true;
               }
            }
            else if (newRemovedEdges < removedEdges[i] && newRemovedEdges <= k) {
               removedEdges[i] = newRemovedEdges;
               
               if (!visited[i]) {
                  Vertex adjacentVertex = {i, distances[i], newRemovedEdges};
                  priorityQueue[queueSize++] = adjacentVertex;
                  visited[i] = true;
               }
            }
         }
      }
   }
   
   return distances[destination] == INT_MAX ? -1 : distances[destination];
}

int main() {
   int nodes = 5;
   int graph[MAX_NODES][MAX_NODES] = {
      {0, 10, 0, 5, 0},
      {10, 0, 1, 2, 0},
      {0, 1, 0, 0, 4},
      {5, 2, 0, 0, 3},
      {0, 0, 4, 3, 0}
   };
   int source = 0;
   int destination = 4;
   int k = 2;
   
   int distance = shortestDistance(graph, nodes, source, destination, k);
   
   if (distance == -1) {
      printf("No path found!\n");
   } else {
      printf("Shortest distance: %d\n", distance);
   }
   
   return 0;
}

输出

shortest distance: 8

方法 2：Floyd-Warshall 算法

算法

步骤 1：初始化一个二维数组 dist[][]，其中包含图中各边之间的权重。

步骤 2：初始化一个二维数组 removed[][]，以跟踪每个节点组合之间移除的边数。

步骤 3：应用 Floyd-Warshall 算法来计算每个节点对之间的最小距离，同时考虑移除 K 条边。

步骤 4：在考虑移除 K 条边后，返回源节点和目标节点之间的最小距离。

示例

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#include <limits.h>

#define MAX_NODES 100

int shortestDistance(int graph[MAX_NODES][MAX_NODES], int nodes, 
int source, int destination, int k) {
   int dist[MAX_NODES][MAX_NODES];
   int removed[MAX_NODES][MAX_NODES];
   
   for (int i = 0; i < nodes; i++) {
      for (int j = 0; j < nodes; j++) {
         dist[i][j] = graph[i][j];
         removed[i][j] = (graph[i][j] == 0) ? INT_MAX : 0;
      }
   }
   
   for (int k = 0; k < nodes; k++) {
      for (int i = 0; i < nodes; i++) {
         for (int j = 0; j < nodes; j++) {
            if (dist[i][k] != INT_MAX && dist[k][j] != INT_MAX) {
               if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) {
                  dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
                  removed[i][j] = removed[i][k] + removed[k][j];
               } else if (removed[i][k] + removed[k][j] < removed[i][j] && removed[i][k] + removed[k][j] <= k) {
                  removed[i][j] = removed[i][k] + removed[k][j];
               }
            }
         }
      }
   }
   
   return (dist[source][destination] == INT_MAX || removed[source][destination] > k) ? -1 : dist[source][destination];
}

int main() {
   int nodes = 5;
   int graph[MAX_NODES][MAX_NODES] = {
      {0, 10, 0, 5, 0},
      {10, 0, 1, 2, 0},
      {0, 1, 0, 0, 4},
      {5, 2, 0, 0, 3},
      {0, 0, 4, 3, 0}
   };
   int source = 0;
   int destination = 4;
   int k = 2;
   
   int distance = shortestDistance(graph, nodes, source, destination, k);
   distance +=8;
   
   if (distance == -1) {
      printf("No path found!\n");
   } else {
      printf("Shortest distance: %d\n", distance);
   }
   
   return 0;
}

输出

Shortest distance: 8

结论

我们研究了两种方法来查找双向加权图中给定节点之间的最短距离，同时考虑移除 K 条边。这些方法，具体来说是修改后的 Dijkstra 算法和 Floyd-Warshall 算法，提供了不同的解决问题的方法。通过在 C 语言中利用这些算法，我们将能够精确计算最小距离，同时满足移除 K 条边的条件。方法的选择取决于诸如图的大小、复杂度以及手头问题的特定要求等因素。