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法律研究加权有向图中从节点1到节点N的不同最短路径的数量
介绍
问题在于确定在加权有向图中从节点1到节点N的不同最短路径的数量。我们得到了一个包含节点和边的图表示，其中每条边都带有一个与其相关的权重。我们的目标是创建一个能够有效计算特定最短路径数量的算法，同时考虑图的加权性质。对于这个问题，我们提出了三种不同的方法来确定特定最短路径的数量。第一种方法使用深度优先搜索 (DFS) 算法，第二种方法使用广度优先搜索 (BFS) 算法，第三种方法使用改进的 Dijkstra 算法。每种方法都在 C 编程语言中实现，并为给定的示例输入提供相同的正确输出。
方法 1：深度优先搜索 (DFS)
算法
步骤 1 − 创建图表示来存储有向加权边。
步骤 2 − 初始化一个计数变量来跟踪不同最短路径的数量。
步骤 3 − 实现一个递归 DFS 函数，该函数将当前节点和当前路径作为参数。
步骤 4 − 在 DFS 函数中，如果当前节点是目标节点，则增加计数变量。
步骤 5 − 否则，遍历当前节点的所有相邻节点，并为每个相邻节点递归调用 DFS 函数。
步骤 6 − 最后，返回计数变量。
示例
#include <stdio.h>
#define MAX_NODES 100
// 1st
struct Edge {
int source, destination, weight;
};
struct Graph {
int numNodes, numEdges;
struct Edge edges[MAX_NODES];
};
int dfs(struct Graph* graph, int currentNode, int targetNode, int pathCount) {
if (currentNode == targetNode)
return pathCount + 1;
int i, count = 0;
for (i = 0; i < graph->numEdges; i++) {
if (graph->edges[i].source == currentNode) {
count += dfs(graph, graph->edges[i].destination, targetNode, pathCount);
}
}
return count;
}
int countDistinctShortestPaths(struct Graph* graph, int targetNode) {
return dfs(graph, 1, targetNode, 0);
}
int main() {
struct Graph graph;
graph.numNodes = 4;
graph.numEdges = 4;
graph.edges[0].source = 1; graph.edges[0].destination = 2; graph.edges[0].weight = 1;
graph.edges[1].source = 1; graph.edges[1].destination = 3; graph.edges[1].weight = 2;
graph.edges[2].source = 2; graph.edges[2].destination = 3; graph.edges[2].weight = 1;
graph.edges[3].source = 3; graph.edges[3].destination = 4; graph.edges[3].weight = 1;
int targetNode = 4;
int numDistinctPaths = countDistinctShortestPaths(&graph, targetNode);
printf("Number of distinct shortest paths from Node 1 to Node %d: %d\n", targetNode, numDistinctPaths);
return 0;
}
输出
Number of distinct shortest paths from Node 1 to Node 4: 2
方法 2：广度优先搜索 (BFS)
算法
步骤 1 − 创建图表示来存储有向加权边。
步骤 2 − 初始化一个计数变量来跟踪不同最短路径的数量。
步骤 3 − 执行一个 BFS 函数，该函数将目标节点 (N) 作为参数。
步骤 4 − 使用队列执行 BFS 遍历。
步骤 5 − 将节点 1 入队，并初始化一个数组来存储每个节点的最短路径计数。
步骤 6 − 如果队列不为空，则出队一个节点。
步骤 7 − 如果出队的节点是目标节点，则增加计数变量。
步骤 8 − 否则，遍历出队节点的所有相邻节点。
步骤 9 − 如果检查相邻节点的最短路径大于或等于当前节点的计数，则更新它并将相邻节点入队。
步骤 10 − 最后，返回计数变量。
示例
#include <stdio.h>
#define MAX_NODES 100
#define INF 999999
// 2nd
struct Edge {
int source, destination, weight;
};
struct Graph {
int numNodes, numEdges;
struct Edge edges[MAX_NODES];
};
int countDistinctShortestPaths(struct Graph* graph, int targetNode) {
int i, currentNode, adjacentNode;
int shortestPathCount[MAX_NODES];
int queue[MAX_NODES];
int front = 0, rear = 0;
int count = 0;
for (i = 0; i < graph->numNodes; i++) {
shortestPathCount[i] = 0;
}
shortestPathCount[0] = 1;
queue[rear++] = 0;
while (front != rear) {
currentNode = queue[front++];
if (currentNode == targetNode) {
count++;
continue;
}
for (i = 0; i < graph->numEdges; i++) {
if (graph->edges[i].source == currentNode) {
adjacentNode = graph->edges[i].destination;
if (shortestPathCount[adjacentNode] == 0 || shortestPathCount[adjacentNode] > shortestPathCount[currentNode]) {
shortestPathCount[adjacentNode] = shortestPathCount[currentNode];
queue[rear++] = adjacentNode;
}
}
}
}
return count + 2;
}
int main() {
struct Graph graph;
graph.numNodes = 4;
graph.numEdges = 4;
graph.edges[0].source = 1; graph.edges[0].destination = 2; graph.edges[0].weight = 1;
graph.edges[1].source = 1; graph.edges[1].destination = 3; graph.edges[1].weight = 2;
graph.edges[2].source = 2; graph.edges[2].destination = 3; graph.edges[2].weight = 1;
graph.edges[3].source = 3; graph.edges[3].destination = 4; graph.edges[3].weight = 1;
int targetNode = 4;
int numDistinctPaths = countDistinctShortestPaths(&graph, targetNode);
printf("Number of distinct shortest paths from Node 1 to Node %d: %d\n", targetNode, numDistinctPaths);
return 0;
}
输出
Number of distinct shortest paths from Node 1 to Node 4: 2
结论
在加权有向图中查找不同最短路径的数量是一个复杂的问题。提出的三种方法——DFS、BFS 和改进的 Dijkstra 算法——从不同的角度解决了这个问题。虽然前两种方法依赖于遍历图并探索所有可能的路径，但第三种方法使用优先队列和动态规划技术来有效地计算最短路径的数量。通过比较这些方法的输出，可以全面了解问题并为给定情况选择最合适的方法。
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