数据结构
网络
关系数据库管理系统
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C语言编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理学
化学
生物学
数学
英语
经济学
心理学
社会学
服装设计
法律研究排列组合（概念、示例、C++程序）
排列和组合指的是数学中对象排列的顺序。
排列 - 在排列中，顺序很重要。因此，以特定顺序排列对象称为排列。
排列分为两种类型：
重复排列
假设我们要生成一个三位数的代码。一些可能的数字是 123、897、557、333、000 和 001。那么我们可以生成多少个这样的数字呢？
让我们这样来看：
在个位数上，我们有十个选项 - 0-9
同样，在十位和百位上，我们也有十个选项。0-9。
因此，我们拥有的总选项数为 10*10*10 = 1000。
所以，我们可以使用数字的重复生成 1000 种不同的排列。
泛化 - 如果我们有 n 个选择和 r 个位置需要填充，我们可以生成 n*n*n…(r 次) 个排列。
因此，重复排列的公式为 nr。
不重复排列
现在，我们必须生成一个不重复数字的三位数代码。
例如，123、019、345、876 等。
在个位数上，我们有十个选项 - 0-9。
在十位数上，我们有九个选项 - 0-9（不包括个位数的数字）
在百位数上，我们有八个选项。
因此，我们拥有的总选项数为 8*9*10。
阶乘
一个数的阶乘是指小于或等于该数的所有正整数的乘积。
它用数字后面的感叹号表示。
例如：
1! = 1. 2! = 2*1 = 2. 3! = 3*2*1 = 6. 4! = 4*3*2*1 = 24. OR 4! = 4*3! = 24 Hence n! = n*(n-1)!
现在，如果我们想计算 10*9*8，我们可以写成：
$$\frac{10!}{\lgroup 10-3\rgroup!}=\frac{10!}{7!}$$
$$=\frac{10*9*8*7!}{7!}$$
$$=10*9*8$$
因此，我们可以将不重复排列的数表示为：
$$\frac{n!}{\lgroup n-r\rgroup!}$$
其中我们需要从总共 n 个事物中选择 r 次。
符号
$$P\lgroup n,r\rgroup = nPr = nPr = \frac{n!}{\lgroup n-r\rgroup!}$$
需要记住的要点
nP0 = 1
nP1 = n
nPn-1 = n!
组合
在组合中，我们选择项目，而顺序无关紧要。我们可以将组合理解为从总共 n 个对象中取出 k 个对象，并且不重复。
示例
Consider that we want to place ‘123’ in some order. The possibilities are 123, 132, 321, 312, 213, and 231. That is, there are 3! = 3*2*1 = 6 possibilities.
现在，如果顺序无关紧要，则只有一种可能性，即：选择所有三个 '123' 并选择它们。
公式
因此，我们调整排列公式以减少对象可以按顺序排列的方式（因为我们不再关心它们的顺序）：
$$\frac{n!}{r!\lgroup n-r\rgroup!}$$
其中 n 是要从中选择的项目数，r 是我们选择的项目数。顺序无关紧要，并且不允许重复。
符号
$$C\lgroup n,r\rgroup = nCr = nCr =\frac{n!}{r!(n-r)!}$$
示例问题
Q1. 在 MISSISSIPPI 中字母的不同排列中，有几个排列四个 'I' 不在一起？
解决方案
Given word: – MISSISSIPPI M – 1 I – 4 S – 4 P – 2 Number of permutations = 11!/(4! 4! 2!) = (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/ (4! × 24 × 2) = 34650 Now, we will remove the permutations in which the four ‘I’(s) come together. We take that 4 I’(s) come together, and they are treated as 1 letter, ∴ Total number of letters=11 – 4 + 1 = 8 ⇒ Number of permutations = 8!/(4! 2!) = (8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/ (4! × 2) = 840 Therefore, the total number of permutations where four 'I'(s) don’t come together = 34650 – 840 = 33810
Q2. 一个小组由 4 个女孩和 7 个男孩组成。如果团队有：
没有女孩
至少一个男孩和一个女孩
至少三个女孩
解决方案
Given, Number of girls = 7 Number of boys = 7
没有女孩
Total number of ways the team can have no girls = 4C0 × 7C5 = 1 × 21 = 21
至少一个男孩和一个女孩
1 boy and 4 girls = 7C1 × 4C4 = 7 × 1 = 7 2 boys and 3 girls = 7C2 × 4C3 = 21 × 4 = 84 3 boys and 2 girls = 7C3 × 4C2 = 35 × 6 = 210 4 boys and 1 girl = 7C4 × 4C1 = 35 × 4 = 140 Total number of ways the team can have at least one boy and one girl = 7 + 84 + 210 + 140 = 441
至少三个女孩
Total number of ways the team can have at least three girls = 4C3 × 7C2 + 4C4 × 7C1 = 4 × 21 + 7 = 84 + 7 = 91
为了找到排列和组合，我们需要找到数字的阶乘。因此，用于查找数字的阶乘的函数如下：
//Function to find the factorial of a number.
int factorial(int n) {
if (n == 0 || n == 1){
return 1;
}
//Recursive call
return n * factorial(n - 1);
}
示例
查找不重复排列数的 C++ 程序
现在，我们可以利用上述函数和公式来计算排列和组合：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//Function to find the factorial of a number.
int factorial(int n) {
if (n == 0 || n == 1){
return 1;
}
//Recursive call
return n * factorial(n - 1);
}
//Driver Code
int main() {
int n = 4, r = 2;
//Calculating the combinations using the formula
int combinations = factorial(n) / (factorial(r) * factorial(n-r));
cout << "The number of Combinations is : " << combinations<<endl;
//Calculating the permutations using the formula
int permutations = factorial(n) / factorial(n-r);
cout << "The number of Permutations is : " << permutations<<endl;
return 0;
}
输出
对于输入 n=4、r=2，上述 C++ 程序将产生以下输出：
The number of Combinations is : 6 The number of Permutations is : 12
结论
在这篇文章中，我们了解了排列和组合的概念。我们看到了公式、符号以及一些示例和示例问题。最后，我们还看到了 C++ 中的程序。
701 次查看
