总体和样本

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简介

• 在统计数学中，总体可以指一组观察值或对象。

• 在统计学和定量方法中，总体可以定义为满足特定条件的数据集合。

• 样本可以定义为从总体中抽取的一组观察值。

• 样本量始终小于总体量。

• 非概率抽样可以进一步细分为**配额抽样、判断抽样**和**目的抽样**。

• 总体和样本被广泛应用于市场研究中，用于推断总体的行为。

• 财务决策中的统计分析也实现了总体和样本。在本教程中，我们将学习总体、总体类型、样本、样本类型以及基于总体和样本的公式，例如平均偏差、标准差和方差。

总体

统计学和研究中的总体是由参数定义的元素集合。通常，“总体”一词与特定地区、国家或州的人群相关联。例如，德里市的汽车展厅数量或特定区域的杂货店数量。

总体类型

根据数据的数学特征，总体可以分为四种类型：

• 有限总体

• 无限总体

• 现有总体

• 假设总体

有限总体

顾名思义，有限总体是可以计数的总体的集合。换句话说，有限的总体集合被定义为有限总体。处理有限总体比处理无限总体更容易。例如，特定产品的在线消费者、使用 Wi-Fi 的人、州政府雇员等。

无限总体

无限总体可以描述为不可计数的总体的集合。换句话说，具有无限多个元素的集合被称为**无限总体**。例如，空气中的细菌数量、人体内的微生物数量、生物体中的细胞数量等。

现有总体

现有总体可以描述为一组元素，其存在是明确的或已知的，并且可以描述为一定数量的单位。换句话说，现有总体是具体元素的集合。例如，一个班级的学生人数、一个学院的计算机数量等。

假设总体

假设总体可以描述为一组元素，其存在不明确或未知，并且不能描述为一定数量的单位。换句话说，假设总体是假设观察值的集合。有时，总体的元素可能是假设的，例如，从一堆卡片中选择一张卡片、比赛的结果等。

样本

样本是从总体中抽取的一组元素。它是总体的子集或代表总体。总体中的样本是基于概率推导出来的。例如，2022 年在印度制造的汽车集合是自 1990 年以来在印度制造的汽车样本。

抽样类型

抽样基于两种类型：

• 概率抽样

• 非概率抽样

概率抽样

概率抽样是根据总体中某个参数的概率选择样本量。概率抽样技术的类型如下：

• 简单随机抽样

• 整群抽样

• 分层抽样

• 不按比例抽样

• 按比例抽样

• 最优配置分层抽样

• 多阶段抽样

非概率抽样

非概率抽样可以定义为完全根据抽样人员或用户的自由裁量权选择元素的过程。这种类型的抽样不需要有任何选择总体的理论依据。非概率抽样的类型如下：

• 配额抽样

• 判断抽样

• 目的抽样

	总体	样本
含义	具有相似特征的对象或观察值的集合。	总体的子集。
包括	代表组的每个元素。	代表总体的子单元
特征	“参数”用于描述总体	“统计量”用于描述样本
数据收集	它通常是整个总体的普查或枚举记录	数据用于对特定特征进行调查或抽样。
重点关注	收集用于识别总体的特征。	样本用于推断总体的特征。

公式

让我们讨论一些与总体和样本相关的公式。对于大小为“n”的总体，其中“n-1”为样本量，平均绝对偏差 (MAD)、方差和标准差的公式如下：

总体平均绝对偏差$\mathrm{=\frac{1}{n} ∑_{i=1}^n |x_i-x̄ |}$

样本平均绝对偏差$\mathrm{=\frac{1}{n-1} ∑_{i=1}^n |x_i-x̄ |}$

总体方差 $\mathrm{(σx)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-x̄)^2}$

样本方差 $\mathrm{(Sx)^2=\frac{1}{(n-1)} \sum_{i=1}^n (x_i-x̄)^2}$

总体标准差 $\mathrm{σx=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-x̄)^2}}$

样本标准差 $\mathrm{Sx=\sqrt{\frac{1}{(n-1)} \sum_{i=1}^n (x_i-x̄)^2}}$

解题示例

1.求观测值集合 {12,15,14,18,6} 的总体方差。

解：根据给定数据，我们可以确定

$$\mathrm{n=5}$$

$$\mathrm{x̄=(12+15+14+18+6)/5}$$

$$\mathrm{x̄=13}$$

总体方差 $\mathrm{=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-x̄)^2}$

$$\mathrm{=\frac{1}{5}[(12-13)^2+(15-13)^2+(14-13)^2+(18-13)^2+(6-13)^2]}$$

$$\mathrm{=\frac{1}{5}[(-1)^2+(2)^2+(1)^2+(5)^2+(7)^2]}$$

$$\mathrm{=\frac{1}{5}[1+4+1+25+49]}$$

$$\mathrm{=\frac{1}{5}[80]}$$

总体方差=16

2.计算数据集 {6,15,18,11,20} 的样本标准差。

解：根据给定数据，我们可以确定

$$\mathrm{n=5}$$

$$\mathrm{x̄=(6+15+18+11+20)/5}$$

$$\mathrm{x̄=14}$$

样本标准差 $\mathrm{Sx=\sqrt{\frac{1}{(n-1)} \sum_{i=1}^n (x_i-x̄)^2}}$

$\mathrm{Sx=\sqrt{\frac{1}{(n-1)} \sum_{i=1}^n (x_i-x̄)^2}}$

$\mathrm{Sx=\sqrt{\frac{1}{4}[(6-14)^2+(15-14)^2+(18-14)^2+(11-14)^2+(20-14)^2]}}$

$\mathrm{Sx=\sqrt{\frac{1}{4}[(-8)^2+(1)^2+(4)^2+(-3)^2+(6)^2]}}$

$\mathrm{Sx=\sqrt{\frac{1}{4}[64+1+16+9+36]}}$

$\mathrm{Sx=\sqrt{\frac{1}{4}[126]}}$

样本标准差 $\mathrm{=\sqrt{\frac{1}{4}[126]}}$

结论

统计学和研究中的总体是由参数定义的元素集合。例如，德里市的汽车展厅数量或特定区域的杂货店数量。样本可以定义为从总体中抽取的一组观察值，例如学校里9年级的学生。根据数学特征，总体可以分为四种类型：有限总体、无限总体、现有总体和假设总体。样本可以分为两种类型：概率抽样和非概率抽样。概率抽样可以进一步细分为简单随机抽样、整群抽样、分层抽样、不按比例抽样、按比例抽样、最优配置分层抽样和多阶段抽样。非概率抽样可以进一步细分为配额抽样、判断抽样和目的抽样。总体和样本被广泛应用于市场研究中，用于推断总体的行为。财务决策中的统计分析也实现了总体和样本。

常见问题

1.关于样本，统计量是什么？

统计量是从总体中抽取样本所依据的度量。

2.关于总体，参数是什么？

参数是描述总体的工具。

3.什么是抽样误差？

总体参数与样本统计量之间的差异称为抽样误差。

4.总体类型有哪些？

根据数学特征，总体有四种类型：有限总体、无限总体、现有总体和假设总体。

5.概率样本类型有哪些？

概率抽样类型：简单随机抽样、整群抽样、分层抽样、不比例抽样、比例抽样、最佳配置分层抽样和多阶段抽样。